Ampliación de un resultado clásico del álgebra lineal

Question

Las siguientes preguntas son aparentemente una extensión de Cayley Hamilton y no estaba seguro si eso significaba que debíamos usar la prueba de dicho resultado pero no sé cómo extender la prueba usando el texto de Hofman y Kunze.

Supongamos que $p_M$ es el polinomio característico de una matriz $M$ con entradas en un campo. Supongamos que existe una matriz $N$ tal que $MN = NM$ .

¿Cómo demostramos que $ p_M (N) = A (M - N) $ para alguna matriz $A$ tal que $A$ se desplaza con $M$ y $N$ ?

Answer 1

Escribe $p_M(x) = \sum_{i=0}^n c_ix^i$ . Y como $p_M$ es el car. pol. de $M$ tenemos $p_M(M) = 0$ . Observe:

$$ \begin{eqnarray*} p_M(N) &=& p_M(N) - p_M(M) \\ &=& \sum_{i=0}^n c_iN^i - \sum_{i=0}^n c_iM^i\\ &=& \sum_{i=1}^n c_i(N^i- M^i)\\ \end{eqnarray*} $$ Tenga en cuenta que puedo iniciar la indexación en $i=1$ ya que para $i=0$ obtenemos $c_0-c_0=0$ . Continuando, observe que cada $N^i-M^i$ factores como $Q_i(N-M)$ , donde $Q_i$ es un polinomio de grado $i-1$ en $N$ y $M$ . Esta factorización sólo funciona porque $N$ y $M$ conmutan entre sí (este punto es crucial). Además, ambos $M$ y $N$ viajar con $Q_i$ (¿por qué?). $$ \begin{eqnarray*} p_M(N) &=& \sum_{i=1}^n c_iQ_i(N-M) \\ &=& \left[\sum_{i=1}^n c_iQ_i\right](N-M) \end{eqnarray*} $$ Así, la matriz $A=\sum_{i=1}^n c_iQ_i$ .