Cuestión sobre la métrica hermitiana en una variedad compleja.

Question

Decimos que una métrica riemanniana $g$ en una variedad compleja $(X,I)$ es hermitiana si $$g(x,y)=g(Ix,Iy)$$ para cualquier $x,y\in \Gamma(X,TX)$ . Aquí consideramos $X$ como una variedad real de dimensión par con estructura compleja $I$ .

¿Cómo se puede demostrar que $g$ es localmente de la forma $$g=\sum_{i,j}g_{i,\overline{j}}dz_{i} \otimes d\overline{z}_{j}$$ donde $z_1,\dots$ son coordenadas complejas locales de $X$ .

Estoy confundido con dos definiciones de estructura compleja; una dada por $I\in \Gamma(X,End(TX))$ y la otra dada por la coordenada local.

Answer 1

K., estas cosas también me confunden, pero así es como yo lo entiendo. Considere $X$ como real, $2n$ dimensional dotada de una métrica (riemanniana) $g$ y una estructura compleja $J$ . Tienes razón al decir que se llama hermitiana si $g(JX,JY) = g(X,Y)$ pero esto no lo convierte en un producto interno hermitiano en el sentido habitual.

Ahora, para cualquier $p\in X$ $J_p: T_pX \rightarrow T_pX$ satisface $J_p^2=-Id$ por lo que siempre podemos elegir coordenadas reales $x_1,y_1,\ldots,x_n,y_n$ en $X$ tal que $J(\frac{\partial}{\partial x}) = \frac{\partial}{\partial y}$ y $J(\frac{\partial}{\partial y}) = -\frac{\partial}{\partial x}$ . Así es como se consigue $J$ en coordenadas locales.

Si ampliamos $J_p$ a la complejificación de $T_pX$ tendrá dos valores propios $i$ y $-i$ y $T_pX\otimes\mathbb{C}$ se dividirá en dos eigenspaces: $T_pX\otimes\mathbb{C}=T^{'}_pX\oplus T^{''}_pX$ . En $i$ eigenspace, $T^{'}_pX$ es el espacio tangente holomorfo y está formado por los vectores $\frac{\partial}{\partial z_i} = \frac{\partial}{\partial x_i}-i\frac{\partial}{\partial y_i}$ mientras que $T^{''}_pX$ se extiende por $\frac{\partial}{\partial\bar{z}_i} = \frac{\partial}{\partial x_i}+i\frac{\partial}{\partial y_i}$ . Tenga en cuenta que si $\xi \in T_p^{'}X$ $\bar{\xi}\in T_p^{''}$ .

Podemos ampliar $g$ por linealidad compleja a definir en $T_pX\otimes\mathbb{C}$ . En coordenadas duales a la base $\{\frac{\partial}{\partial z_i}, \frac{\partial}{\partial \bar{z_j}}\}$ podemos escribir esto como:

$$g = \sum g_{ij}dz_i\otimes dz_j + \sum g_{\bar{i}\bar{j}}\bar{dz}_i\otimes\bar{dz}_j + \sum g_{\bar{i}j} \bar{dz_i}\otimes dz_j + \sum g_{j\bar{i}} dz_j\otimes\bar{dz_i}$$

Como en el comentario de Javier, donde $g_{ij} = g(\frac{\partial}{\partial z_i},\frac{\partial}{\partial z_j})$ etc.

Observe que

$$g(J\frac{\partial}{\partial z_i},J\frac{\partial}{\partial z_j}) = g(i\frac{\partial}{\partial z_i},i\frac{\partial}{\partial z_j}) = -g(\frac{\partial}{\partial z_i},\frac{\partial}{\partial z_j})= -g_{ij}$$

Utilizando el hecho de que $g$ es hermitiana, pero también tenemos $$g(J\frac{\partial}{\partial z_i},J\frac{\partial}{\partial z_j})= g(\frac{\partial}{\partial z_i},\frac{\partial}{\partial z_j}) = g_{ij}$$

Por lo tanto $g_{ij} = 0$ . Del mismo modo $g_{\bar{i}\bar{j}} = 0$ . Por último observar que:

$$g_{\bar{i}j} = g(\frac{\partial}{\partial \bar{z_i}}, \frac{\partial}{\partial z_j}) = g(\frac{\partial}{\partial x_i},\frac{\partial}{\partial x_j}) + g(\frac{\partial}{\partial y_i}, \frac{\partial}{\partial y_j}) + i\left(g(\frac{\partial}{\partial y_i},\frac{\partial}{\partial x_j}) - g(\frac{\partial}{\partial x_i},\frac{\partial}{\partial y_j})\right)$$ Pero, utilizando el hecho de que $g$ vuelve a ser hermitiana, así como la definición de $\frac{\partial}{\partial y_i}$ y $\frac{\partial}{\partial x_i}$ : $$g(\frac{\partial}{\partial y_i},\frac{\partial}{\partial x_j}) = g(J\frac{\partial}{\partial x_i},-J\frac{\partial}{\partial y_j}) = - g(\frac{\partial}{\partial x_i},\frac{\partial}{\partial y_j})$$ También tenemos $$g(\frac{\partial}{\partial x_i},\frac{\partial}{\partial x_j}) = g(\frac{\partial}{\partial y_i},\frac{\partial}{\partial y_j})$$

y así:

$$g_{\bar{i}j} = 2g(\frac{\partial}{\partial x_i},\frac{\partial}{\partial x_j}) -2ig(\frac{\partial}{\partial x_i},\frac{\partial}{\partial y_j})$$

Utilizando el mismo argumento (es decir, utilizando el hecho de que $g$ es hermitiana, así como la relación entre $\frac{\partial}{\partial x_i}$ y $\frac{\partial}{\partial y_i}$ ) podemos demostrar que: $$g_{j\bar{i}} = 2g(\frac{\partial}{\partial x_i},\frac{\partial}{\partial x_j}) -2ig(\frac{\partial}{\partial x_i},\frac{\partial}{\partial y_j}) = g_{\bar{i}j}$$ También podemos demostrar que

$$g_{i\bar{j}} = \overline{g_{\bar{i}j}}$$

Así que tenemos $g = 2\sum g_{\bar{i}j} (\bar{dz_i}\otimes dz_j+dz_j\otimes\bar{dz_i})$ según sea necesario.

Una advertencia; $g$ como se ha definido anteriormente es una métrica hermitiana en el sentido de Griffiths y Harris. Es decir, un "producto interno hermitiano definido positivo": $$(\ ,\ )_{p}: T^{'}_{p}M\otimes\overline{T^{'}_{p}M} \to \mathbb{C}$$ en el espacio tangente holomorfo en $p$ para cada $p\in M$ dependiendo suavemente de $p$ "(pág. 27). Me parece más claro pensar en

$$h_p: T^{'}_{p}M\otimes T^{'}_{p}M \to \mathbb{C}$$ $$h_p(\xi,\zeta) = g(\xi,\overline{\zeta})$$ como la métrica hermitiana en $T^{'}_{p}M$ ya que es más evidente (al menos para mí) que se trata de un producto interno hermitiano en cada espacio tangente.

He intentado encontrar una buena referencia para esta construcción; creo que la mejor sería o bien Complex Geometry de Huybrecht pg. 28-31 o bien "Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries" de Gross, Huybechts y Joyce (mira al principio del capítulo escrito por Joyce).

Answer 2

$g_{i\bar j}dz^id\bar z^j+g_{\bar j i}d\bar z^jdz^i=$ $g_{i\bar j}(dz^id\bar z^j+d\bar z^jdz^i)$

Creo que debería ser así. Sólo lo escribo porque la notación es engañosa.