El comportamiento de los ceros de $f'$ complejos polinomios $f$ con ceros en el límite de la unidad de disco.

Question

Supongamos que tenemos $f(z) = (z-r_1)\cdots(z-r_n)$, $|r_j| = 1$. Según Lucas-teorema de Gauss, todos los ceros de $f'$ encuentran en el casco convexo de la $r_j$, pero he descubierto algunas de comportamiento no entiendo jugando con el applet en http://demonstrations.wolfram.com/SendovsConjecture/.

Tomemos, por ejemplo, el caso de $n = 5$, y organizar la $r_j$ en general en la posición" sobre el círculo unidad (de modo que las raíces de $f'$ no coinciden), teniendo en $r_1 = 1 = e^0$. Ahora vamos a $r_1$ varían continuamente de $e^0$ $e^{2\pi}$por el aumento de su argumento. Va a encontrar varias cosas que suceden a las raíces de la $s_1,s_2,s_3,s_4$$f'$; por supuesto, cuando se $r_1$ retorna a su posición original, las raíces coinciden con sus posiciones de partida. Sin embargo, puede ser que $s_1 \mapsto s_2$, $s_2 \mapsto s_3$, $s_3 \mapsto s_4$, y $s_4 \mapsto s_1$. También he visto a $s_1 \mapsto s_1$, y $s_2 \mapsto s_3$, $s_3 \mapsto s_4$, $s_4 \mapsto s_2$.

Al parecer, el acto de girar uno de los $r_j$ hacia la izquierda una revolución es un trivial grupo de acción sobre la $s_j$. Yo no entiendo, o lo que realmente sabemos buscar. ¿Qué está pasando aquí? ¿Cómo puedo saber a priori lo que va a pasar a la $s_j$ bajo este tipo de acción, dada la $r_j$? Si esto es en la literatura, donde lo puedo encontrar?

Editar: Aquí una horrible representación de un ejemplo de orden 2:

Los puntos azules son los ceros de $f$; los puntos naranjas son los ceros de $f'$. El gran círculo rojo muestra el movimiento de las $r_1 = 1$, y los otros cuatro roja curvas muestran cómo los puntos naranjas se comportan.

Answer 1

Deje $\alpha$ ser una raíz de $f'$. Es decir, $\alpha$ satisface

$$ 5 \alpha^4 + 4 p_1 \alpha^3 + 3 p_2 \alpha^2 + 2 p_3 \alpha + p_4 = 0 $$

donde $p_k = p_k(r_1, \dotsc, r_5)$ es simétrica polinomio de grado $k$. Cuando se mueve el $r$ alrededor de los coeficientes varían exponencialmente y la raíz de $\alpha$ viaja a lo largo implícita una curva tal que la ecuación anterior se sostiene. Esto significa que $\alpha$ es de nuevo una raíz del polinomio original, cuando los parámetros $r$ vuelven a su posición inicial. Sin embargo, esto no tiene por que ser la misma raíz! Este fenómeno es conocido como monodromy. Monodromy ya fue ampliamente estudiado por Riemann y es la clave para muchos de los hermosos resultados (primer ejemplos de superficies de Riemann y su tratamiento de Gauss funciones hipergeométricas). Considere el siguiente polinomio ejemplo para ver más fácilmente lo que está sucediendo:

$$ \alpha^2 - r = 0. $$

Ahora comienzo a $\alpha = r = 1$ y rotar $r$ una vez a lo largo del círculo unidad. Usted va a terminar con $\alpha = -1$, que es la otra raíz de la ecuación cuadrática $\alpha^2-1=0$.

Answer 2

Fix $4$ de las raíces originales, y dejar que el $5$th se mueven sobre todo de $\Bbb C$. A continuación, $P_\alpha = (X - \alpha)Q(X)$ donde $Q$ fijo es un polinomio de grado $4$.

La mayoría de las veces, $P_\alpha'$ $4$ distintas raíces. Deje $\{\beta_i\}$ ser las raíces de la discriminante $\Delta(\alpha)$ $P_\alpha'$ (un polinomio en $\alpha$ grado $6$, casi siempre). Luego, cuando $\alpha = \beta_i$, $P'\alpha$ tiene múltiples raíces. Si $\alpha$ hace un pequeño bucle alrededor de uno de esos valores, se podrán ver dos (o más, si $\beta_i$ tiene multiplicidad) muy cerca de las raíces de $P'_\alpha$ que se cambia.

Si usted escoge un especial punto de referencia $\alpha_0 \notin \{\beta_i\}$, y de fijar un orden en las raíces de $P_{\alpha_0}'$, entonces usted puede elegir para cada una de las $\beta_i$ un bucle de $\alpha_0$ a sí mismo de que los bucles sólo alrededor de ese $\beta_i$ y describir su monodromy como un caso particular de transposición (o un gran ciclo, en caso de $\beta_i$ tiene una mayor multiplicidad) en las raíces de $P_{\alpha_0}'$. Desde los bucles libremente generar $\pi_1(\Bbb C - \{\beta_i\})$, se puede expresar la unidad original de bucle como una combinación de estos (hasta conjugacy) y calcular el correspondiente permutación.

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Si quieres un panorama más general, usted tendrá que moverse más raíces, y en última instancia, usted tiene que describir $\pi_1(\Bbb C^5 - V(\Delta))$ (o $\pi_1((\Bbb C^5 - V(\Delta)) \cap \Bbb U^5)$ si usted desea permanecer en el círculo unitario) donde $\Delta$ es el discriminante de la derivada de la genérica de grado $5$ polinomio en términos de sus raíces. Y también, todo es más bonito si reemplazar $\Bbb C$ con la esfera de Riemann para poder hablar de las cosas como a uno de la raíz tiende a infinito (esto disminuye el grado de $P$$1$).