Aproximación de una función y segunda derivada

Question

Mientras resolvía algún ejercicio se me ocurrió este problema:

Supongamos que $f \in C^2[0,\infty]$ (es decir $f$ tiene una segunda derivada continua en $[0,\infty)$ y existe un límite en $+\infty$ de $f$ ) sea tal que $f''(0) = 0$ .

¿Existe una secuencia $(f_n) \subset C^2[0,\infty]$ tal que $f_n \to f$ y $f''_n \to f''$ en la norma suprema (es decir $\lVert f_n - f \rVert_{C[0,\infty]}$ , $ \lVert f''_n - f'' \rVert_{C[0,\infty]} \to 0$ ) y todos $f_n$ satisface $f''_n(0) = f'_n(0) = 0$ ?

Tal vez me equivoque pero creo que sería casi suficiente para aproximarse en ese sentido lineal (en alguna vecindad de $0$ ).

Agradeceré cualquier sugerencia.

Answer 1

Esto no es posible. Supongamos que $f(x) = x$ para $ x \le 1$ , convenientemente ampliado para $x\ge 1$ . Ahora elija $\varepsilon$ pequeño (menos de $1/100$ , digamos) y $N_0 \in \mathbb{N}$ tal que $|f(x) - f_n(x) | \le \varepsilon, |f^{\prime \prime}(x) - f_n^{\prime \prime}(x)| \le \varepsilon \quad \forall x\in \mathbb{R}, n\ge N_0$ .

Su suposición ( $f_n^{\prime}(0) = 0$ ) implica entonces

$$|f_n^{\prime}(x)| = |\int_0^x f_n^{\prime\prime}(t) dt| = |\int_0^x (f_n^{\prime\prime} (t) - f^{\prime\prime}(t) ) dt|\le \varepsilon x \quad \forall x\ge 0 \quad (!)$$ desde $f^{\prime\prime} = 0$ . Esto le permite estimar $f_n(0) - f_n(x)$ (integrar una vez más). Por lo tanto, $$\varepsilon \ge f(x) - f_n(x) = f(x) - f(0) + f(0) - f_n(0) + f_n(0) - f_n(x) \ge x - \varepsilon -(\varepsilon/2) |x|^2 $$ Ahora elige $x = 1/2$ digamos.