Integración de ciertas funciones sobre la esfera unitaria $\mathbb{S}^2$

Question

Dejemos que $ \mathbb{S}^2$ la esfera de la unidad, y $ \vec a$ , $ \vec b$ dos vectores constantes. Tengo que demostrarlo: $$ \iint\limits_{\mathbb{S}^2} \langle \vec x , \vec a \rangle \langle \vec x , \vec b \rangle \, d \sigma= \frac43 \langle \vec a , \vec b \rangle $$ y utilizando esto para demostrarlo: $$ \iint\limits_{\mathbb{S}^2} \langle A\vec x , \vec x \rangle \, d \sigma = \frac{4}{3} \operatorname{tr}(A) $$ donde $A$ es una matriz de orden $3 \times 3$ . ¿Alguien puede darme una idea sobre la solución?

Answer 1

$$ \iint\limits_{\mathbb{S}^2} x^2 + y^2 + z^2 d \sigma= 4 π, $$ pero las integrales de $x^2,y^2,z^2$ debe ser la misma, por lo que $$ \iint\limits_{\mathbb{S}^2} x^2 d \sigma= 4 π / 3. $$ Después de eso, se están viendo las identidades de polarización para las formas cuadráticas. También se llama ley del paralelogramo.