Característica de Euler y serie generadora

Question

Esta pregunta se inspira en la planteada por John Baez aquí: https://mathoverflow.net/questions/67209?sort=votes#sort-top y la respuesta de Neil Strickland a esa pregunta.

Dejemos que $X$ ser un complejo de CW. Si $X$ es finito, no hay ningún problema para definir su característica de Euler. Sin embargo, cuando $X$ es infinito, hay al menos dos formas diferentes que dan resultados similares pero no idénticos:

Si el número $c(d)$ de células de $X$ de dimensión $d$ es finito para cada $d$ se puede formar una función generadora $f(t)=\sum_d c(d)t^d$ y definir $\chi(X)=\lim_{t\to -1^+}f(t)$ (suponiendo que el límite tenga sentido y exista).

Si $X$ tiene un finito $d$ -Cubierta plegable $\tilde X$ que es equivalente en homotopía a un complejo CW finito, entonces podemos establecer $\chi(X)=\frac{1}{d}\sum_{i=1}^\infty (-1)^i\dim H^i(\tilde X,k)$ donde $k$ es un campo. Esta es la característica de Wall (también conocida como característica racional de Euler) de $X$ y es un invariante de homotopía y no depende de $k$ .

Ahora, si intentamos calcular la característica de $\mathbb{R} P^\infty$ con su descomposición de celdas estándar (una celda en cada dimensión de $0$ a $\infty$ ), entonces ambas definiciones coinciden: la primera da la función generadora $\frac{1}{1-t}$ , lo que da $\frac{1}{2}$ cuando se evalúa en $t=-1$ el segundo también da $\frac{1}{2}$ utilizando la doble tapa $pt\cong S^\infty\to \mathbb{R} P^\infty$ .

Sin embargo, si tomamos un grupo finito $G$ y tratar de calcular la característica de la construcción Milnor de $BG$ entonces la primera definición dará $\frac{1}{1+\# G}$ ya que el número de símiles de dimensión $d$ es $(\# G)^d$ mientras que el segundo da $\frac{1}{\# G}$ .

Me gustaría preguntar: ¿hay alguna razón conceptual para que las dos definiciones coincidan en el primer caso y casi (pero no del todo) en el segundo? Esta es, por supuesto, una pregunta bastante vaga, así que he aquí una versión ligeramente más específica: si el número de celdas de $X$ de cada dimensión es finita, entonces ¿hay una manera de deducir la característica de Wall de $X$ de la serie generadora de esos números, suponiendo que la característica Wall existe?

Answer 1

Espero que un topólogo me dé una respuesta. Haré algunos comentarios generales sobre las sumas de series.

Algo que hay que tener en cuenta cuando se trabaja con series divergentes es que estas divergen. En particular, las sumas divergentes no son asociativas. (Esto es similar al hecho de que las sumas condicionalmente convergentes no son conmutativas, como se explica habitualmente en el cálculo de primer año). Quizá la manifestación más famosa de la no asociatividad sea la "prueba" de que $0=1$ escribiendo $0 = \sum 0 = \sum (1-1) = \dots$ . Pero un ejemplo mejor, porque es más ilustrativo, es la prueba de que $\frac12 = \frac13$ como usted señala en el caso de $\mathbb R P^\infty$ se debería predecir que $1 - 1 + 1 - 1 + \dots = \frac12$ , porque si se traduce la suma en un paso y luego se suma la serie traducida a la serie original en columnas, todos los términos se cancelan excepto el primero. Pero si en cambio se considera $1 - 1 + 0 + 1 - 1 + 0 + \dots$ , se ve que se necesitan tres turnos de la suma para $1$ . Dicho de otro modo, la suma de Abel de $1 - 1 + 0 + 1 - 1 + 0 + \dots$ es $\sum t^{3n} - \sum t^{3n+1} = \frac1{1-t^3} - \frac t{1-t^3} = \frac1{1+t+t^2} \to \frac13$ .

Creo que está encontrando un comportamiento similar en el caso de la Milnor $\mathrm BG$ . Por supuesto, la característica de Euler "correcta" es $1/\chi(G)$ . Lo que creo que tiene que pasar es que los "nuevos" símiles cuando se construye $\mathrm B G$ deben tener el espacio par en la suma, lo mismo que tienen en la construcción de barra reducida. Pero los símiles degenerados en el complejo de celdas de Milnor deberían estar asociados de tal manera que se cancelen como en $(1-1) + (1-1) + \dots$ .

Por supuesto, esto es un poco ad hoc. ¿Una posibilidad es que las dimensiones de los grupos de homología tengan la suma de Abel correcta? Esa sería la respuesta si me crees que sólo deben contribuir las simplices no degeneradas. Pero no he pensado si esto es correcto en la nariz.