¿Qué es una prueba?

Question

Sólo soy un estudiante de secundaria, y no he visto mucho en matemáticas (cálculo y álgebra abstracta).

Las matemáticas son un sistema de axiomas que tú mismo eliges para un conjunto de entidades indefinidas, de manera que esas entidades satisfacen ciertas reglas básicas que tú mismo estableciste en primer lugar.

Ahora, utilizando estas reglas establecidas y un conjunto de otras reglas para un tema llamado lógica que se estableció de manera similar, se definen ciertas cantidades y se las nombra utilizando las entidades no definidas y luego se pasa a demostrar ciertas afirmaciones llamadas teoremas.

¿Qué es exactamente una prueba? Supongamos que en un examen me piden que demuestre el teorema de Pitágoras. Entonces lo demuestro utilizando sólo un determinado sistema de axiomas y lógica. No se demuestra en todos los sistemas de axiomas en los que podría ser cierto, y qué me impide hacer otro conjunto de axiomas que tengan el teorema de Pitágoras como axioma, y luego simplemente afirmar en mi sistema/examen "esto es un axioma, por lo tanto no se puede demostrar".

EDITAR : ¿Cómo se define entonces el término "erróneo" en matemáticas? Se puede decir que demostrar el último teorema de fermat usando los axiomas de la teoría de los números fue una tarea difícil pero entonces se puede tomar como un axioma en otro conjunto de axiomas .

¿Son las matemáticas tan rigurosas y tan reflexionadas como se cree y se espera que sean? Me parece que hay muchas lagunas en los problemas, así como en la propia asignatura, pero hay una falsa columna vertebral de rigor que parece cierta hasta que se empiezan a cuestionar los propios fundamentos.

Answer 1

Una pregunta muy interesante. Desde luego, parece tener al menos una de las principales cualidades que debe poseer un matemático acomodado, a saber, el afán de rigor.

Para responder a su pregunta, y parafraseando lo que ha dicho, hay que llegar a los fundamentos. Vamos a ampliar un poco más.

Aunque quiero evitar una discusión técnica y filosófica sobre lo que es (no es o puede ser) la Matemática, digamos simplemente que cualquier sistema con un conjunto de reglas estrictamente, es decir, rigurosamente, predefinidas y algún tipo de objeto fundamental define un sistema matemático. Así, por ejemplo, sólo las reglas constituirían un sistema lógico; aquí también estamos pisando terreno difícil, pero sigamos adelante.

Un ejemplo de sistema matemático es topología . Este es uno de los principales ejemplos de lo que la mayoría de la gente no piensa que son las matemáticas, ya que la mayor parte del tiempo se trata de conjuntos y operaciones sobre ellos, que no son operaciones que se hayan visto hasta ahora. Sin embargo, todavía podemos utilizar ideas y operaciones de otro sistema, digamos el sistema de los números (quiero evitar la frase "teoría de los números" por miedo a un posible desaire técnico), en objetos de aquí siempre que podamos verificar que estos objetos satisfacen todos los requisitos que esas ideas y operaciones establecen para que puedan ser puestas en uso. Así, por ejemplo, podemos contar con cuántos conjuntos estamos trabajando, y renunciando a cualquier preocupación sobre la aplicabilidad de las operaciones sobre números en este contexto, podemos incluso hacer afirmaciones como "Hay $2n$ conjuntos". Y no necesitamos demostrar aquí que $2n = n + n$ , puesto que ya hemos confirmado que el sistema de números puede, aunque quizá no del todo, utilizarse en el sistema de topología. En otras palabras, lo que se demuestra una vez, se demuestra totalmente . Para más información sobre este tema, puede consultar esta pregunta Y en particular, también hablo de esto en mi respuesta allí .

¿Cómo podemos ser completamente ¿está seguro de que algo es cierto? Nunca. De hecho, nos ponemos de acuerdo para establecer sistemas axiomáticos, como usted ha mencionado, y luego procedemos a determinar ciertas verdades en estos sistemas. Y sólo podemos estar seguros de que las verdades que hemos obtenido son verdaderas dado que nuestro sistema axiomático es válido y que tiene nuestro proceso de la razón. En el sentido absoluto, no hay manera de saber con seguridad si esas dos cosas son realmente ciertas. Pero hay algunas cosas que quiero mencionar aquí. En primer lugar, las Matemáticas nunca debieron preocuparse por estas cuestiones. Las matemáticas se basan simplemente en la premisa: digamos que esto y aquello son verdaderos; dadas estas suposiciones, ¿qué más podemos decir que es verdadero? Y las otras respuestas a la pregunta que he enlazado proporcionan una excelente discusión sobre esto. Sin embargo, si todavía te preocupan estas cosas, debes saber que ahora estás entrando en el terreno de la filosofía; concretamente en la filosofía de la realidad ( Ontología ) y el conocimiento ( Epistemología ); curiosamente también hay Filosofía de las matemáticas . Además, a pesar de todo esto, todavía hay ciertas proposiciones en Matemáticas que no pueden demostrarse como verdaderas o falsas; esto se conoce como Teorema de Godel .

Por último, quiero abordar lo que podría ser una preocupación subyacente aquí. Le pregunto, ¿dónde está la preocupación en aceptar la validez de una declaración como,

$$2 + 2 = 4.$$

¿Se trata de determinar a qué ideas, exactamente, se refieren los símbolos " $2$ " o " $4$ "? O tal vez el " $+$ " y " $=$ "? Ya hemos acordado las definiciones de las ideas a las que se refieren esos símbolos, y podemos estar de acuerdo en la aplicación de esas definiciones e ideas. De hecho, algunos pueden estar en desacuerdo con esta aplicación, pero eso está bien. Eso no quiere decir necesariamente que nuestra conclusión sea incorrecta, sino simplemente que no todo el mundo está de acuerdo. Y desacuerdos como este pueden ocurrir en las matemáticas superiores; de hecho, es precisamente por eso que tenemos pruebas de conjeturas revisado por pares .

Answer 2

No sé si lo siguiente viene a ser una clasificación adecuada de los enunciados erróneos en matemáticas y al menos en algunas partes de la lógica.

Dicho esto, muchas afirmaciones erróneas tienen contraejemplos. Por ejemplo, si alguien afirmara que "todos los triángulos (euclidianos... todos los triángulos se suponen euclidianos en esta respuesta) son isóceles" o "todos los triángulos son equiláteros", estas afirmaciones son erróneas, porque existen triángulos que no son isóceles y triángulos que no son equiláteros. Para convencer a alguien de que un enunciado matemático es erróneo es necesario construir un contraejemplo o indicar cómo se puede construir en principio un contraejemplo, o indicar cómo puede existir un contraejemplo dentro de la teoría.

Puedes utilizar teoremas ya demostrados al construir un contraejemplo o indicar cómo se podría construir uno para la teoría con la que trabajas. Con el ejemplo del triángulo, podrías utilizar Teorema de Tales , que en efecto te da un método para construir varios triángulos, y luego confirmar que al menos uno de tales triángulos no es isóceles o no es equilátero.

Answer 3

Una prueba es una cadena de afirmaciones $p_1\implies\cdots\implies p_n$ que se puede frenar para que cada implicación corresponda esencialmente a una conclusión del tipo modus ponens o un sustitución - debido a Kurt Gödel.

Desde un punto de vista formal, $p_1\iff a\wedge c$ es una conjunción de todos los axiomas y algunas condiciones que se formulan en el teorema a demostrar ( $c\implies q_n$ es el teorema), y la cadena tiene eslabones como $(p_k\wedge(p_k\implies q_k))\implies p_k\wedge q_k$ .

Ejemplo. Se puede formular la conjetura de Goldbach:
Si $m>2$ es un número natural par (la condición $c$ ), entonces existen dos números primos $p,q$ tal que $m=p+q\;$ (la conclusión $q_n$ ).

Aquí los axiomas son los axiomas de Peano ( $a$ ), y encontrando cada modus ponens y cada sustitución necesaria en la cadena, la conclusión $q_n$ podría hacerse.

Desde un punto de vista más informal, se supone que los axiomas y muchos teoremas son conocidos por el lector y no es necesario señalarlos.

Answer 4

Demostrar algo no es más que decir por qué algo es cierto matemáticamente. Hay muchas formas de demostrar algo. Éstas son las tres más utilizadas:

Lógica: Utilizar las reglas establecidas y el pensamiento para llegar a una respuesta coherente.

Contradicción: Intentar demostrar que lo que estamos demostrando es falso. Si esto falla, lo que estamos tratando de demostrar es verdadero.

Pensamiento alternativo: Plantear el problema de una manera diferente para aclarar cosas que no se veían antes.

Las pruebas matemáticas avanzadas generalmente se presentan en formas abstractas y oscuras de racionalización. Pero una prueba puede ser tan simple como un poco de lógica.