¿Qué es una prueba?

Question

Sólo soy un estudiante de secundaria, y no he visto mucho en matemáticas (cálculo y álgebra abstracta).

Las matemáticas son un sistema de axiomas que tú mismo eliges para un conjunto de entidades indefinidas, de manera que esas entidades satisfacen ciertas reglas básicas que tú mismo estableciste en primer lugar.

Ahora, utilizando estas reglas establecidas y un conjunto de otras reglas para un tema llamado lógica que se estableció de manera similar, se definen ciertas cantidades y se las nombra utilizando las entidades no definidas y luego se pasa a demostrar ciertas afirmaciones llamadas teoremas.

¿Qué es exactamente una prueba? Supongamos que en un examen me piden que demuestre el teorema de Pitágoras. Entonces lo demuestro utilizando sólo un determinado sistema de axiomas y lógica. No se demuestra en todos los sistemas de axiomas en los que podría ser cierto, y qué me impide hacer otro conjunto de axiomas que tengan el teorema de Pitágoras como axioma, y luego simplemente afirmar en mi sistema/examen "esto es un axioma, por lo tanto no se puede demostrar".

EDITAR : ¿Cómo se define entonces el término "erróneo" en matemáticas? Se puede decir que demostrar el último teorema de fermat usando los axiomas de la teoría de los números fue una tarea difícil pero entonces se puede tomar como un axioma en otro conjunto de axiomas .

¿Son las matemáticas tan rigurosas y tan reflexionadas como se cree y se espera que sean? Me parece que hay muchas lagunas en los problemas, así como en la propia asignatura, pero hay una falsa columna vertebral de rigor que parece cierta hasta que se empiezan a cuestionar los propios fundamentos.

Answer 1

No existe un acuerdo total entre los matemáticos sobre qué axiomas o reglas utilizar en cada caso. Sin embargo, no hay "lagunas" en un conjunto coherente de axiomas y reglas. Si son inconsistentes, ¡se puede demostrar absolutamente cualquier cosa!

Sin embargo, a menudo los matemáticos utilizan axiomas y reglas que han resultado ser muy útiles, pero no se sabe con certeza si son consistentes o no, por ejemplo, los axiomas ZFC para la teoría de conjuntos. Tras más de un siglo de estudio intensivo por parte de los expertos, no se ha encontrado ninguna incoherencia en ZFC. Como fundamento de las matemáticas, parece funcionar.

En cuanto a las preguntas del examen, se puede suponer que tienes a tu disposición los "axiomas y reglas habituales" de la lógica y las matemáticas (los más utilizados), a menos que se indique lo contrario en la hoja de examen o en los materiales del curso. Sí, eso es un poco vago, pero si se aprovecha esa ambigüedad, se corre el riesgo de hacerlo. La mayoría de los examinadores no tienen sentido del humor en este sentido.

Answer 2

Un argumento matemático riguroso que demuestra inequívocamente la verdad de una proposición dada. Un enunciado matemático que se ha demostrado se llama teorema.

En matemáticas, una prueba es una demostración de que si se supone que algunos enunciados fundamentales (axiomas) son verdaderos, entonces algún enunciado matemático es necesariamente verdadero. Las pruebas se obtienen a partir de un razonamiento deductivo, más que de argumentos inductivos o empíricos; una prueba debe demostrar que un enunciado es siempre verdadero (en ocasiones enumerando todos los casos posibles y mostrando que se cumple en cada uno de ellos), en lugar de enumerar muchos casos confirmatorios. Una proposición no probada que se cree verdadera se conoce como conjetura. Las pruebas emplean la lógica, pero suelen incluir cierta cantidad de lenguaje natural que suele admitir cierta ambigüedad.

De hecho, la gran mayoría de las pruebas de las matemáticas escritas pueden considerarse aplicaciones de la lógica informal rigurosa. Pruebas puramente formales escritos en lenguaje simbólico en lugar de en lenguaje natural, se consideran en la teoría de la prueba. La distinción entre formal y pruebas informales ha dado lugar a un gran examen de la práctica matemática actual e histórica, del cuasiempirismo en las matemáticas y de la llamada matemática popular (en ambos sentidos del término).

http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_proof y vaya a los métodos de prueba

Answer 3

Tal vez le interese saber que hasta hace poco no teníamos una buena definición de lo que es una prueba. Antes del nacimiento de la lógica moderna y de la teoría de conjuntos, los matemáticos habían conseguido utilizar métodos de prueba aceptados para derivar contradicciones (un ejemplo famoso es la paradoja de Russell). Se dedicó mucho trabajo a definir sistemas de prueba que no permitieran tales incoherencias. Entre otras cosas, esto supuso la creación de reglas mucho más estrictas para la construcción de conjuntos.

La mayoría de la gente está satisfecha con nuestros métodos de demostración actuales, aunque rara vez (o nunca) utilizamos pruebas completamente rigurosas. Desgraciadamente, se ha demostrado que cualquier sistema de pruebas suficientemente avanzado no puede demostrar su propia consistencia. De hecho, si alguien pudiera demostrar que nuestros métodos de prueba actuales son consistentes (es decir, que no pueden generar contradicciones), eso implicaría que nuestros sistemas de prueba son inconsistentes. Así que, en ese sentido, sí, la "falsa columna vertebral del rigor" se desmorona un poco cuando se empieza a indagar. Si nuestro sistema de pruebas es consistente, nunca lo sabremos...

Hay muchos fenómenos extraños e interesantes relacionados con las pruebas y la lógica. Uno de ellos es que ciertas afirmaciones no pueden probarse ni refutarse. Son, en cierto sentido, incognoscibles. Si no me equivoco, la hipótesis del continuo y el axioma de elección son dos de esas afirmaciones. Puedes elegir entre asumir que son verdaderos o falsos y escribir pruebas perfectamente válidas en ambos casos.

Sin embargo, no se puede decir lo mismo de las afirmaciones demostrables. Si tomamos tu ejemplo y añadimos el último teorema de Fermat a nuestros axiomas podríamos enfrentarnos a un problema. ¿Y si el último teorema de Fermat no fuera cierto? (lo es, pero por el bien del argumento supongamos que no lo es). Podrías utilizar los otros axiomas para demostrar que es falso. Ahora tienes un sistema de lógica que es inconsistente; puedes usarlo para demostrar paradojas. Y si puedes hacer eso, puedes demostrar literalmente cualquier cosa. No es bueno...

(Estoy repitiendo como un loro lo que mi profesor de lógica dijo durante nuestra primera clase. He comprobado los hechos lo mejor que he podido, pero esto es principalmente de memoria. Si algo es incorrecto, por favor hágamelo saber).

Answer 4

Excelente pregunta. El concepto de prueba lleva la autoridad; la conclusión de una prueba es demostrado de las premisas. Las demostraciones de teoremas siguen suponiendo una teoría de la demostración, que, como has señalado, depende de la aceptación de una lógica y unos axiomas. Se puede pensar en una prueba como una demostración convincente (sentido informal) o como un objeto matemático (sentido formal). Entiendo que a usted le interesa más la idea de una demostración convincente. Todas las demostraciones deben partir de ciertos supuestos. No se puede poner a un adversario en jaque mate si no acepta las reglas del ajedrez. Del mismo modo, no se puede ofrecer una demostración convincente a menos que se acepten las premisas de las que parte la demostración. La cuestión más general de si alguna vez se demuestra algo de forma convincente es una cuestión filosófica, pero lógica de primer orden y los axiomas de Peano proporcionan muchos casos naturales de demostraciones convincentes. La Enciclopedia de Filosofía de Stanford tiene un buen artículo sobre el desarrollo de la teoría de la prueba aquí .

Answer 5

Bueno, por supuesto eres libre de adoptar el pitagórico como un axioma en tu sistema. Pero eso no elimina la carga de la prueba; simplemente la transforma, ya que ahora tienes que demostrar que a) tu sistema, tal y como está planteado, es consistente; y, casi igual de importante, b) que tu nuevo axioma no es redundante, es decir, que no podría derivarse a su vez de otros axiomas de ese sistema. Es decir, tendrás que demostrar que no puedes demostrar ni refutar el pitagórico utilizando los otros axiomas de tu sistema. Si yo fuera tu profesor te aceptaría sin duda alguna. Pero si yo fuera tú, tal vez no querría ir allí. A no ser que realmente estés dispuesto a ello.

Básicamente, los axiomas o postulados no son verdades universales; son ladrillos de Lego. A fin de cuentas, no importa qué ladrillos tengas o decidas usar, sino lo que puedas construir con ellos, cómo se relaciona con otras construcciones y, ocasionalmente, si es útil para algo.

Podría adoptar como único axioma que soy Dios o Chuck Norris, y por lo tanto todo lo que digo es cierto sólo porque lo digo yo - o; es cierto que lo dije, ya que "las cosas que dijo Jesper" es el único universo del que este sistema es válido. E incluso así es bastante inútil. No se pueden construir cosas con él. Ni siquiera yo puedo construir cosas con él. Usted puede notar, digamos, que Jesper dijo A, y luego dijo no-A. Pero ni siquiera puedes tomar eso y derivar una contradicción adecuada. Los sistemas con esa propiedad se llaman dialéticos - y puede que no todos sean tan inútiles como éste.

O podría adoptar como axiomático que sólo se permite que tengan valor de verdad las proposiciones que han sido probadas o refutadas, de modo que habrá proposiciones que no tengan ninguno; y en consecuencia el dictamen clásico, conocido como la ley del medio excluido, de que una proposición es verdadera o falsa, es en sí mismo falso - en este tipo de sistema, llamado intuicionista o constructivista. Y eso tiene algunas consecuencias muy interesantes, o construcciones, o meta-construcciones conocidas como teoría de las categorías y teoría de los topos.

Todo lo que digo es que estás en el camino correcto. Desafía todo hasta e incluyendo tu capacidad de desafiar todo. Pero deriva las consecuencias. Porque ahí es donde está la diversión. Tienes toda la razón en que puedes tomar cualquier cosa para ser tus axiomas en tu sistema. El reto sigue siendo hacer algo interesante con ello, y con suerte decirnos algo de cómo tu sistema se relaciona con todo lo demás.

Pero ahora mismo estás en la escuela. Y la escuela te dice qué sistema usar. Pues úsalo. No tiene que convertirse en parte de tu identidad.

Puedes demostrar el teorema de Pitágoras dados los postulados de Euclides. Una vez que lo hayas hecho, probablemente seguirás utilizándolo allí donde esos postulados sean válidos, sin ni siquiera molestarte en recordar o relatar tu demostración. Y, por tanto, es, en cierto sentido, axiomático para tu nueva construcción.

También es muy fácil refutar la pitagórica: basta con hacer la geometría en una esfera o en una silla de montar (hiperboloide). En la geometría no euclidiana, aunque sigue siendo increíblemente importante, la pitagórica sólo es cierta en el límite de los triángulos infinitesimales. Y que esto nos sirva de lección a todos: la verdad universal de hoy es probablemente el caso especial de mañana. Tal vez.