¿Qué es una prueba?

Question

Sólo soy un estudiante de secundaria, y no he visto mucho en matemáticas (cálculo y álgebra abstracta).

Las matemáticas son un sistema de axiomas que tú mismo eliges para un conjunto de entidades indefinidas, de manera que esas entidades satisfacen ciertas reglas básicas que tú mismo estableciste en primer lugar.

Ahora, utilizando estas reglas establecidas y un conjunto de otras reglas para un tema llamado lógica que se estableció de manera similar, se definen ciertas cantidades y se las nombra utilizando las entidades no definidas y luego se pasa a demostrar ciertas afirmaciones llamadas teoremas.

¿Qué es exactamente una prueba? Supongamos que en un examen me piden que demuestre el teorema de Pitágoras. Entonces lo demuestro utilizando sólo un determinado sistema de axiomas y lógica. No se demuestra en todos los sistemas de axiomas en los que podría ser cierto, y qué me impide hacer otro conjunto de axiomas que tengan el teorema de Pitágoras como axioma, y luego simplemente afirmar en mi sistema/examen "esto es un axioma, por lo tanto no se puede demostrar".

EDITAR : ¿Cómo se define entonces el término "erróneo" en matemáticas? Se puede decir que demostrar el último teorema de fermat usando los axiomas de la teoría de los números fue una tarea difícil pero entonces se puede tomar como un axioma en otro conjunto de axiomas .

¿Son las matemáticas tan rigurosas y tan reflexionadas como se cree y se espera que sean? Me parece que hay muchas lagunas en los problemas, así como en la propia asignatura, pero hay una falsa columna vertebral de rigor que parece cierta hasta que se empiezan a cuestionar los propios fundamentos.

Answer 1

En realidad, hay dos tipos de pruebas muy diferentes:

• Pruebas informales son lo que los matemáticos escriben a diario para convencerse a sí mismos y a otros matemáticos de que determinadas afirmaciones son correctas. Estas pruebas suelen estar escritas en prosa, aunque también hay construcciones geométricas y "pruebas sin palabras".

• Pruebas formales son objetos matemáticos que modelan las pruebas informales. Las pruebas formales contienen absolutamente todos los pasos lógicos, con el resultado de que incluso las proposiciones simples tienen pruebas formales asombrosamente largas. Por ello, las pruebas formales se utilizan sobre todo con fines teóricos y para la verificación informática. Sólo un pequeño porcentaje de matemáticos es capaz de escribir una prueba formal de la nada.

Con un poco de humor, debería decir que hay un tercer tipo de prueba:

• Pruebas de nivel de secundaria son argumentos que los profesores obligan a sus alumnos a reproducir en las clases de matemáticas del instituto. Estos tienen que ser escritos de acuerdo con reglas muy específicas descritas por el profesor, que son aparentemente arbitrarias y no son compartidas por las pruebas informales o formales reales fuera de las matemáticas de la escuela secundaria. Entre las pruebas de bachillerato se encuentran las "pruebas a dos columnas", en las que los "pasos" se enumeran a un lado de una línea vertical y las "razones" al otro. Lo más importante que hay que recordar sobre las pruebas de la escuela secundaria es que sólo son una imitación de las pruebas matemáticas "reales".

La mayoría de los matemáticos aprenden sobre las pruebas matemáticas leyéndolas y escribiéndolas en las clases. Los estudiantes desarrollan sus habilidades de demostración a lo largo de muchos años, de la misma manera que los niños aprenden a hablar, sin aprender primero las reglas. Así que, al igual que ocurre con los lenguajes naturales, no existe una definición firme de "qué es una prueba informal", aunque sí hay patrones comunes.

Si quieres aprender sobre pruebas, la mejor manera es leer algunas matemáticas reales escritas a un nivel que te resulte cómodo. Hay muchas fuentes buenas, así que sólo señalaré dos: Revista de matemáticas y Horizontes matemáticos ambos tienen artículos bien escritos sobre muchas áreas de las matemáticas.

Answer 2

Empezando por el final, si se toma el Teorema de Pitágoras como axioma, entonces demostrarlo es muy fácil. Una demostración consiste en una sola línea, que enuncia el propio axioma. La forma moderna de ver los axiomas no es como cosas que no se pueden demostrar, sino como aquellas cosas que declaramos explícitamente como cosas que se sostienen.

Ahora bien, lo que es exactamente una prueba depende de lo que elijas como reglas de inferencia en tu lógica. Es importante entender que una prueba es una entidad tipográfica. Es una lista de símbolos. Hay ciertas reglas de cómo combinar ciertas listas de símbolos para extender una prueba existente por una línea más. Estas reglas se llaman reglas de inferencia.

Ahora bien, recordando que todo esto ocurre sólo en un papel -la prueba consiste sólo en marcas en el papel, donde lo que se acepta como prueba válida es cualquier cosa que se obtenga de los axiomas siguiendo las reglas de inferencia-, nos gustaría de alguna manera relacionar esto con propiedades de objetos matemáticos reales. Para entenderlo, es necesario otro tecnicismo. Si vamos a escribir una prueba en forma de símbolos en un papel, será mejor que tengamos algo que nos diga qué símbolos podemos utilizar y cómo combinarlos para obtener lo que se llama términos. Esto lo proporciona el concepto formal de lenguaje. Ahora, para relacionar los símbolos de un trozo de papel con los objetos matemáticos, recurrimos a la semántica. Primero hay que interpretar el lenguaje (otra cosa técnica). Una vez interpretado el lenguaje, cada enunciado (un enunciado es un conjunto de términos que intenta transmitir una propiedad de los objetos que nos interesan) se convierte en verdadero o falso.

Esto es importante: antes de que se hiciera una interpretación, todavía podíamos probar cosas. Una afirmación era demostrable o no. Ahora, con una interpretación a mano, cada afirmación también es verdadera o falsa (en esa interpretación concreta). Así que ahora viene la cuestión de si las reglas de inferencia son o no sonido . Es decir, si las cosas que son demostrables a partir de los axiomas son realmente verdaderas en todas y cada una de las interpretaciones en las que estos axiomas se mantienen. Por supuesto, debemos elegir las reglas de inferencia de forma que sean sólidas.

Otra cuestión es si tenemos la integridad. Es decir, si un enunciado es verdadero bajo todas y cada una de las interpretaciones en las que se cumplen los axiomas, ¿se deduce que existe una prueba? Esta es una pregunta muy sutil, ya que relaciona la semántica (un concepto bastante ilusorio) con la demostrabilidad (un concepto muy trivial y completamente mecánico). Normalmente, demostrar que un sistema lógico es completo es bastante difícil.

Espero que esto satisfaga tu curiosidad, ¡y un pulgar arriba por tu interés en estos temas!

Answer 3

Como eres un estudiante de secundaria, aquí tienes una respuesta menos sofisticada y mucho menos rigurosa:

Supongo que puedes inventar cualquier conjunto de axiomas que quieras y empezar a utilizarlos para demostrar teoremas. Así que, como dices, podrías hacer del teorema de Pitágoras un axioma en tu mundo, y entonces no necesitarías "demostrarlo".

Pero, si vas a empezar a crear tu propio sistema de axiomas, y a hacer matemáticas en este mundo privado, hay algunas cosas de las que debes preocuparte:

(1) Si nadie más utiliza los mismos axiomas que tú, entonces nadie estará muy interesado en tus "teoremas", ya que sólo son verdaderos en tu mundo privado. Tu mundo privado puede ser un poco solitario. Así que es mejor utilizar los mismos axiomas que los demás.

(2) Es útil (aunque no absolutamente necesario) tener un sistema de axiomas que guarde alguna relación con la realidad. De este modo, los teoremas que demuestres te darán a veces información que tiene valor en el mundo "real", en campos como la economía y la ingeniería, por ejemplo. Tu mundo privado podría ser muy diferente de la realidad física, si no eliges los axiomas con cuidado. Por tanto, tus resultados podrían ser engañosos o incluso peligrosos, aunque sean "verdaderos" en tu mundo.

(3) Si no se tiene cuidado, el sistema de axiomas que se inventa puede llevar a contradicciones, o puede tener otros defectos lógicos fundamentales. Los axiomas no pueden ser completamente arbitrarios (que yo sepa).

Hay algunas áreas de las matemáticas en las que parte del juego consiste en inventar sistemas modificados de axiomas y ver qué pasa. Pero la mayoría de nosotros jugamos con un conjunto de reglas bastante bien establecidas, por las razones expuestas anteriormente (y por otras razones también, supongo).

Adiciones

En cuanto a tu comentario añadido de que "hay una falsa espina dorsal de rigor que parece cierta hasta que empiezas a cuestionar los propios fundamentos". Me parece que el rigor está en el razonamiento que se utiliza para derivar teoremas a partir del conjunto de axiomas elegido. No creo que este rigor sea "falso".

Lo que te molesta, supongo, es que hay cierta libertad a la hora de elegir el conjunto de axiomas, y, dependiendo de las elecciones que hagas, obtienes un conjunto diferente de teoremas -- una versión diferente de la verdad, y diferentes declaraciones de lo que es "correcto" e "incorrecto". Comprendo su preocupación: puedo ver que puede ser perturbador descubrir que los axiomas de las matemáticas no están universalmente acordados. Un ejemplo de axioma discutible es el "axioma de elección" (leer más aquí ). La mayoría de los matemáticos asumen que este axioma es verdadero, pero algunos no lo hacen y, por supuesto, los dos grupos obtienen un conjunto diferente de teoremas. No totalmente diferentes, pero sí diferentes.

Pero, por otro lado, la elección de los axiomas no es completamente arbitraria, y existe un gran solapamiento en los conjuntos de axiomas de uso común. Así que, en la práctica, las cosas suelen funcionar bien, a pesar de que los fundamentos no están totalmente grabados en piedra.

Cuestionar los fundamentos, como haces tú, es algo válido, y los matemáticos lo han hecho durante mucho tiempo. Si quieres saber más sobre esto, de fuentes que sean al menos algo "creíbles y fiables", entonces esta página de Wikipedia puede ser un buen punto de partida.

Answer 4

No estoy seguro, pero a mí me parece que a tu pregunta concreta no se le ha dado la respuesta sencilla de por qué asumir Pitágoras como axioma es erróneo en esa situación.

La razón es: porque en realidad te están preguntando "Dado el conjunto de axiomas que te han enseñado, deduce Pitágoras". La pregunta asume implícitamente algún sistema de axiomas particular.

En general, una prueba podría considerarse formalmente como un conjunto de símbolos que obedecen a algunas reglas (de lógica) que comienza con un conjunto de axiomas y suposiciones y termina con el enunciado que se quiere demostrar.

Answer 5

Una prueba es un argumento completamente convincente. Así, una prueba del teorema de Pitágoras sería un argumento completamente convincente de que la relación pitagórica es correcta tal y como está planteada. La noción de "prueba" es posiblemente más fundamental que tal o cual sistema de axiomas o de lógica formal. Este punto de vista es el de Errett Bishop. Es el tema subyacente de su libro de 1967 "Foundations of Constructive Analysis" (para una reseña, véase http://www.ams.org/journals/bull/1970-76-02/S0002-9904-1970-12455-7/home.html así como http://www.jstor.org/stable/2314383?origin=crossref ).