Densidad posterior

Question

Absolutamente atascado en la sección A de esta pregunta que encontré. Llevo más de 3 horas intentándolo y sigo sin conseguirlo, ¿alguien puede guiarme?

Supongamos una muestra aleatoria $x = (x_1, x_2,\ldots, x_n)$ se toma de un N( $\Theta$ 1) distribución. Se desea estimar la media $\Theta$ . Una distribución normal con media y varianza cero $\frac{1}{t^2}$ se utiliza como distribución a priori para $\Theta$ .

(a) Demuestre que la densidad posterior $\pi(\Theta|x)$ satisface $$ \pi (\Theta |x)\propto\exp\left \{ -\frac{1}{2}\left ( \Theta ^{2}\left ( n +t^{2} \right ) - 2n\mu \Theta \right ) \right \} $$

donde

$$ \mu = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i} $$

Al escribir esta densidad posterior en la forma

$$ \pi (\Theta |x)\propto exp\left ( -\frac{\left ( \Theta -m \right )^{2}}{2\nu ^{2}} \right ) $$

deducir la distribución posterior de $\Theta$ .

(b) Utilizando su distribución posterior para $\Theta$ ¿Cuál es su estimación para $\Theta$ ? Recordando que $X_i - N(\Theta, 1)$ , obtenga la media y la varianza de su estimación. (c) Discute lo que ocurre con tu estimación (i) si $n$ es grande, (ii) si $t$ es grande, (iii) si $t$ es pequeño. (d) Discuta por qué alguien podría elegir el caso (i) grande $t$ (ii) pequeño $t$ .

$T_{post} = T_{prior} + T_{data}$ pero no estoy seguro de cómo utilizarlo.

Para Ci. es correcto que la estimación se acercará más a la media de la muestra cuando $N$ es grande? Cii. hacer $t$ convergen hacia la media? Ciii. cuanto mayor sea la relación es hacia la estimación?

Answer 1

Solución para la parte A:

\begin{align*} \pi(\theta|x)&\propto\pi(x|\theta)\pi(\theta)\\ &\propto\exp\left\{-\frac{1}{2}\sum^n_{i=1}(x_i-\theta)^2\right\}\exp\left\{-\frac{t^2}{2}\theta^2 \right\}\\ &\propto\exp\left\{-\frac{1}{2}\sum^n_{i=1}(x_i-\theta)^2-\frac{t^2}{2}\theta^2 \right\}\\ &\propto\exp\left\{-\frac{1}{2}\left[\sum^n_{i=1}(x_i-\theta)^2+t^2\theta^2\right] \right\}\\ &\propto\exp\left\{-\frac{1}{2}\left[\sum^n_{i=1}(x_i^2-2x_i\theta+\theta^2)+t^2\theta^2\right] \right\}\\ &\propto\exp\left\{-\frac{1}{2}\left[-2\theta\sum^n_{i=1}x_i+n\theta^2+t^2\theta^2\right] \right\}\\ &\propto\exp\left\{-\frac{1}{2}\left[-2\theta n\mu+n\theta^2+t^2\theta^2\right] \right\}\\ &\propto\exp\left\{-\frac{1}{2}\left[-2\theta n\mu+\theta^2(n+t^2)\right] \right\}\\ &\propto\exp\left\{-\frac{1}{2}\left[\theta^2(n+t^2)-2\theta n\mu\right] \right\}\\ \end{align*}

Así que todo lo que tienes que hacer es completar el cuadrado y obtendrás el núcleo de otra distribución normal (para completar el problema)