Supongamos que $G$ es un grupo de Lie que actúa suavemente en una variedad $M,$ hace el Borel $M \times_G EG$ construcción tienen el tipo de homotopía de un complejo CW? Si no es así, ¿bajo qué condiciones sería esto cierto? (Me interesa sobre todo el caso de los estabilizadores discretos). Más generalmente, si $G$ es cualquier grupo topológico que actúa sobre un complejo CW $X$ ¿en qué condiciones $X \times_G EG$ tienen el tipo de homotopía de un complejo CW?
Respuesta
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Sí, es cierto. Es suficiente para $X$ para tener el tipo de homotopía de un complejo CW (esto es cierto para las variedades suaves; véase por ejemplo aquí o aquí ).
Voy a suponer que estás usando una definición de $EG$ que incluye algo como: $EG$ es un $G$ -CW-complejo, de modo que se construye tomando iterativamente los empujes de los diagramas de la forma $$ D^n \times G \leftarrow S^{n-1} \times G \rightarrow Y. $$ Como resultado, el espacio $EG \times_G M$ está formado por una secuencia iterada de empujes $$ D^n \times M \leftarrow S^{n-1} \times M \rightarrow Z. $$ (Esto viene con las advertencias estándar sobre que probablemente haya que utilizar espacios generados de forma compacta para que los productos, los cocientes y la topología del límite directo interactúen bien).
Cada uno de estos empujones es el cono cartográfico del mapa $S^{n-1} \times M \to Z$ . Este cono de mapeo no sería necesariamente un complejo CW aunque $M$ y $Y$ eran (el mapa tendría que ser celular para eso), pero si $M$ y $Z$ ambos tienen el tipo de homotopía de los complejos CW, el cono tiene el tipo de homotopía de un complejo CW (es equivalente en homotopía a un mapa celular, y esa equivalencia se traslada a una equivalencia en los conos de mapeo). Al inducir sobre la estructura celular de $EG$ podemos suponer que $Z$ tiene el tipo de homotopía de un complejo CW y encontramos que este siguiente mapa de empuje $Z \to Z'$ es equivalente en homotopía a una inclusión de células de complejos CW. Tomando colímites obtenemos el resultado deseado.
