Dado $F(x,y,z)=0$ , $\frac{\partial x}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}$ debería ser -1, pero tengo 1

Question

¿Qué ha fallado en mi cálculo?

Dado $F(x,y,z)=0$ , $F_x\neq 0 , F_y\neq 0, F_z\neq 0$ y $z=f(x,y), y=g(x,z), x=h(y,z)$

$F_x\quad\,+F_y\frac{\partial y}{\partial x} + F_z \frac{\partial z}{\partial x} = 0\\ F_x\frac{\partial x}{\partial y}+F_y\quad\,+F_z\frac{\partial z}{\partial y}=0$

Entonces tenemos:

$F_y(\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}-1)+F_z(\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}-\frac{\partial z}{\partial y}) =0$

Dejemos que $P(x,y)=F(x,y,f(x,y))\\ P_x+P_y\frac{\partial y}{\partial x}=0\\ \frac{\partial y}{\partial x} = -\frac{P_x}{P_y}, similarly, \frac{\partial x}{\partial y} = -\frac{P_y}{P_x}, \frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x} = 1$

$F_y(1-1)+F_z(\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial y} - \frac{\partial z}{\partial y}) = 0\\ \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y} - \frac{\partial z}{\partial y}=0\\ \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z} -\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z} = 0\\ \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z} = 1$

Answer 1

La notación habitual de diferenciación parcial es ambigua, y estás haciendo suposiciones contradictorias sobre lo que significa la notación.

Por ejemplo, en este contexto, $\frac{\partial y}{\partial x}$ podría significar ambas cosas:

1. la derivada de $y$ con respecto a $x$ mientras sostiene $z$ constante
2. la derivada de $y$ con respecto a $x$ mientras sostiene $y$ constante

(también podría significar muchas otras cosas, pero estas dos interpretaciones son las únicas que debes considerar para este problema)

La primera ecuación que has calculado tiene significados contradictorios: la ecuación

$$ F_x + F_y \frac{\partial y}{\partial x} + F_z \frac{\partial z}{\partial x} = 0$$

podría significar una de dos cosas:

• Ambas derivadas se toman mientras se mantiene $y$ constante
• Ambas derivadas se toman mientras se mantiene $z$ constante

Sin embargo, has hecho inconsistente interpretaciones: usted interpretó $\frac{\partial y}{\partial x}$ como la celebración de $z$ constante, y $\frac{\partial z}{\partial x}$ como la celebración de $y$ constante.

Bajo los dos correcto interpretaciones, la ecuación se simplifica a

$$ F_x + F_y \cdot 0 + F_z \cdot \left. \frac{\partial z}{\partial x}\right|_{y \text{ const}} = 0$$ $$ F_x + F_y \cdot \left. \frac{\partial y}{\partial x}\right|_{z \text{ const}} + F_z \cdot 0 = 0$$

Y usted obtiene

$$\left. \frac{\partial z}{\partial x}\right|_{y \text{ const}} = -\frac{F_x}{F_z} $$

En última instancia, se obtiene

$$ \left. \frac{\partial z}{\partial x}\right|_{y \text{ const}} \left. \frac{\partial x}{\partial y}\right|_{z \text{ const}} \left. \frac{\partial y}{\partial z}\right|_{x \text{ const}} = \left(-\frac{F_x}{F_z} \right) \left(-\frac{F_y}{F_x} \right) \left(-\frac{F_z}{F_y} \right) = -1 $$