$\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}}$La primera conjetura es verdadera al menos para $T_1$ espacios.
Si $X$ $T_1$ y no countably compacto, a continuación, $X$ tiene una infinita cerrado subespacio discreto, que no es, obviamente, countably compacto. Por lo tanto, si cada discretos subespacio de un $T_1$ espacio $X$ es countably compacto, por lo que es $X$.
Es al menos consistente que la segunda conjetura es falsa. Es coherente que hay que ser un compacto de Suslin línea, es decir, una completa densa orden lineal $\langle X,\preceq\rangle$ con extremos tales que el fin de la topología en $X$ es de la ccc, pero no separable. (E. g., la existencia de Suslin línea de la siguiente manera a partir de la combinatoria de principio a $\diamondsuit$, que tiene en $\mathsf{V=L}$.)
Supongamos que $F\subseteq X$ es cerrado, $x\in F$, e $F\cap[x,\to)$ está abierto en $F$. Si $x=\min F$, $x$ no es una izquierda pseudogap de $F$. (Para una definición de izquierda y derecha pseudogaps ver esta respuesta.) De lo contrario, $F\cap(\leftarrow,x)$ es no vacío, cerrado subconjunto de $F$ y por lo tanto de $X$. De ello se desprende que $F\cap(\leftarrow,x)$ es compacto y tiene un máximo de elemento $y$. Pero, a continuación, $F\cap[x,\to)=\{z\in F:y\prec z\}$ está abierto en el orden de la topología en $F$, e $x$ no es una izquierda pseudogap de $F$. Un argumento similar muestra que $F$ no tiene derecho pseudogaps y, por tanto, que la topología de subespacio de $F$ es idéntica a la de la orden de topología, de modo que $F$ con su topología de subespacio es un MONTÓN.
Deje $D\subseteq X$ ser discretos. La propagación de los LOTES es igual a su celularidad, por lo $D$ es contable. Deje $Y=\cl_XD$; a continuación, $Y$ es un separables, compacto LOTES. Vamos $$J=\{x\in Y:x\text{ has an immediate successor in }Y\}\;;$$ since $Y$ is a LOTS, $w(Y)=c(Y)+|J|=\omega+|J|$. For $x\J$ let $x^+$ be the immediate successor of $x$ in $S$; then $\{(x,x^+):x\J\}$ is a pairwise disjoint family of non-empty open intervals in $X$, so $|J|\le\omega$, and $w(Y)=\omega$. It now follows from the Uryson metrization theorem that $S$ is metrizable and hence that every discrete subset of $$ X ha metrizable cierre.
