¿Por qué la probabilidad es una medida?

Question

Si $X$ es una variable aleatoria, entonces parece que una afirmación como la siguiente tiene sentido, $P[ \vert X - a \vert > b ] = \int_{\vert X - a\vert > b} dP$

¿Puede alguien explicar por qué $``dP"$ tiene sentido como medida de integración cuando $P$ es una probabilidad ?

Answer 1

Por definición de integrales de Lebesgue para funciones simples, $$ \int _A\mathrm d\mu = \int 1_A\mathrm d\mu = \mu(A). $$ En su caso $\mu = P$ . La medida de probabilidad es una medida, ¿no?

Answer 2

Aquí hay dos medidas en juego, una sobre el espacio muestral y otra sobre el rango de la variable aleatoria, que también es una función medible, lo que hace que las dos medidas estén muy relacionadas. Lee sobre ello en el primer capítulo del libro de Shiryaev sobre Probabilidad. Para entender tu problema en detalle puedes usar el teorema de extensión de Chatadory una vez que sepas que para cada función probalmente denisty hay una función de distribución que satisface algunas condiciones que se necesita para "crear" una medida. Estas son las últimas páginas de la sección 3 del capítulo 1 del libro de Cohn sobre teoría de la medida.