Libros sobre grupos reductores utilizando la teoría de esquemas

Question

El profesor Conrad mencionó en un reciente respuesta que la mayoría de los libros (¿introducción?) sobre grupos reductores no hacen uso de la teoría de esquemas. ¿Existe algún libro que utilice la teoría de esquemas? Además, ¿hay algún libro que utilice el enfoque del functor de puntos? El segundo libro de Demazure-Gabriel habría cubierto los esquemas de grupos generales de esta manera, pero nunca se escribió, y no está claro si habría cubierto o no los grupos reductores de todos modos. Hay mucho material en SGA 3 que utiliza una maquinaria más moderna para estudiar los esquemas de grupo, pero no conozco ningún tratamiento significativo de los grupos reductores en ese libro (aunque no he leído mucho).

Corrección: El profesor Conrad ha señalado que SGA 3 sí contiene un tratamiento importante de los grupos reductores con maquinaria moderna.

Answer 1

Personalmente, los libros "clásicos" (Borel, Humphreys, Springer) me resultan desagradables de leer porque trabajan en la categoría equivocada, a saber, la de los esquemas de grupos algebraicos reducidos y no la de todos los esquemas de grupos algebraicos. En esa categoría, los teoremas de isomorfismo de la teoría de grupos fallan, por lo que nunca se sabe qué es cierto. Por ejemplo, el mapa $H/H\cap N\rightarrow HN/N$ no tiene por qué ser un isomorfismo (toma $G=GL_{p}$ , $H=SL_{p}$ , $N=\mathbb{G}_{m}$ incrustado en diagonal). Además, como la terminología que utilizan se remonta a los Fundamentos de Weil, hay afirmaciones extrañas como "el núcleo de un homomorfismo de grupos algebraicos definido sobre $k$ no es necesario que se defina sobre $k$ ". Tampoco estoy de acuerdo con Brian en que si no conoces la teoría de la descendencia, EGA, etc. entonces no "conoces la teoría de esquemas lo suficientemente bien como para pedir un tratamiento teórico de esquemas".

Lo que explica por qué he estado trabajando en un libro cuyo objetivo es permitir que la gente aprenda la teoría de los esquemas de grupos algebraicos (incluyendo la estructura de los esquemas de grupos algebraicos reductores) sin leer primero los libros clásicos y con sólo el mínimo de requisitos previos (para lo que está actualmente disponible, véase mi sitio web en notas del curso). En cierto sentido, mi objetivo es completar lo que Waterhouse empezó con su libro.

Así que mi respuesta a la pregunta es, no, no hay tal libro, pero estoy trabajando en él....

Answer 2

Oh, Dios mío, SGA3 es una referencia absolutamente fundamental sobre la teoría de grupos reductores. La importancia de su tratamiento es tremenda. Pero asume libremente la familiaridad con la teoría sobre un campo algebraicamente cerrado. Para mí eso no es un gran problema. Es como aprender algunos fundamentos sobre las variedades antes de los esquemas: totalmente razonable, casi absurdo hacerlo de otra manera (en términos de entender de dónde vienen las ideas, tener experiencia con ejemplos reales en los que poner a prueba el conocimiento de las sutilezas, etc.)

Creo que es perfectamente bueno aprender primero la teoría sobre campos leyendo uno de estos libros más "clásicos", ya que todo el trabajo serio tiene lugar allí y la relativización aporta otras herramientas para arrancar del caso de campos (es decir, no se puede hacer nada serio sin establecer primero una buena teoría sobre campos, al igual que los teoremas reales sobre esquemas abelianos se basan en hacer primero la teoría de variedades abelianas). Dicho esto, cuando se aprende la teoría sobre campos a partir de estos libros "clásicos", quienes deseen un tratamiento teórico de esquemas pueden simplemente reinterpretar la mayoría de las pruebas en términos de esquemas si así lo desean (utilizando el conocimiento de temas de la teoría de la descendencia, EGA, etc.) Si eso es demasiado difícil, significa que uno no conoce la teoría de esquemas lo suficientemente bien como para pedir un tratamiento teórico de esquemas. Debo señalar que incluso Jantzen da por sentado que se está familiarizado con una buena parte de la teoría sobre campos. No hay nada malo en ello, en mi opinión.

Answer 3

¿Has mirado en Jantzen's Representaciones de grupos algebraicos ? Está escrito en el lenguaje de funtores / gavillas y trata de grupos reductores.

Aquí hay un enlace a la página de google books: http://books.google.com/books?id=Liqas0afjR0C&lpg=PP1&dq=jantzen%20algebraic%20groups&pg=PP1#v=onepage&q=&f=false