Subgrupos como subgrupos de isotropía y órbitas regulares en tuplas

Question

¿Existe alguna descripción natural o teórica del valor mínimo de d tal que G tiene una órbita regular en d , donde G es un grupo finito que actúa fielmente sobre un conjunto ?

Motivación : En algunos casos, hay tantos tipos de órbitas de G en que todo subgrupo de G aparece como un estabilizador de puntos. Sin embargo, estas acciones son bastante raras, incluso en el caso de un grupo de puntos de un grupo de isometrías euclidianas. (Las únicas acciones de este tipo en 2D son C ₁ , D ₁ y C _{<em>p </em>} para los primos p . Esto se debe a que los subgrupos de rotación sólo estabilizan el origen).

(ejemplo para D4 por Bill Cook) .

Si permitimos que el grupo actúe también sobre subconjuntos, quizá tengamos más suerte. Véase, por ejemplo, el bonito ejemplo de grupos diédricos y grupos cíclicos que actúan naturalmente en el plano euclidiano como grupos de roseta. Aquí se pueden tomar varios subconjuntos naturales del polígono para obtener todos los subgrupos.

En general, un grupo de puntos finitos de un grupo de isometrías euclidianas tiene una órbita regular, y los bloques de esa órbita bastan para especificar todos los subgrupos (existe una correspondencia 1-1 entre los subgrupos que contienen un estabilizador puntual y los bloques de la órbita dada, y esta correspondencia viene dada por el estabilizador de conjunto). Esto es cierto de forma más general para grupos pequeños que actúan sobre espacios vectoriales grandes (si V es n -sobredimensionado K y | G |1 < 1+| K |+ +| K | n 1 entonces G tiene una órbita regular en V en cualquier acción fiel y lineal de G en V En particular, los grupos finitos que actúan sobre espacios vectoriales infinitos están bien).

Sin embargo, determinar qué grupos lineales medianos sobre espacios vectoriales medianos tienen órbitas regulares es realmente difícil, por lo que sé. Me preguntaba si era mucho más fácil si se permitía sustituir V por V V . Ciertamente, podemos sustituir V por V V (tomando d \=| V |), pero eso es un poco extremo.

¿Hay algún valor razonable de d que se puede leer desde el carácter de permutación de G en del carácter (Brauer) de G en V o algún otro invariante natural de la acción de G en ?

Una expresión para el mínimo estaría bien, pero incluso algún límite decente en d en términos de invariantes estaría bien.

Para identificar los grupos de Galois, también se buscan ciertos invariantes para los polinomios, y creo que lo que estoy preguntando es relevante para lo complicado que tienen que ser dichos invariantes. El GAP, por ejemplo, toma d 5, creo (y solía tomar d 3, creo), pero tiene un montón de rutinas de "respaldo" para identificar varios otros subgrupos, posiblemente por eficiencia, pero posiblemente porque uno no puede elegir d tan pequeño en general.

Answer 1

Lleva abierta casi nueve años y es la pregunta sin respuesta más valorada en la Teoría de Grupos. Así que merece una respuesta, aunque el autor de la pregunta parece que ya no viene por estos lares.

Primero, algo fácil. Dejemos que $V$ ser un $kG$ -que supondremos que es fiel.

Lema: si $G$ posee como máximo $m$ subgrupos de orden primo, y $|k|\geq m$ entonces $G$ tiene una órbita regular en $V$ .

La prueba es clara: cada elemento de orden primo centraliza un subespacio propio de $V$ . Desde $V$ no es la unión de $m$ subespacios propios, hay un punto $x$ no centralizado por ningún elemento de orden $p$ . Así, $x$ se encuentra en una órbita regular. (Obviamente se puede hacer mucho mejor que $m$ aquí, pero esto es lo más fácil de afirmar).

Se trata de $k$ de la característica $0$ Por supuesto. Los mejores resultados son cuando $\gcd(|G|,|k|)=1$ . Aquí utilizamos un resultado de Halasi--Podoski de Todo grupo lineal coprimo admite una base de tamaño dos . Esto establece que cualquier módulo fiel tiene un tamaño base $2$ es decir, existen dos puntos, $x,y\in V$ , de tal manera que $C_G(x)\cap C_G(y)=1$ . Por lo tanto, si $W$ es un fiel $kG$ -módulo y $W\oplus W$ es un submódulo de $V$ entonces $G$ tiene una órbita regular en $W\oplus W\leq V$ .

Por lo tanto, si $V$ es un fiel $kG$ -módulo entonces $V\otimes V$ contiene dos módulos fieles no isomorfos, a saber $\Lambda^2(V)$ y $S^2(V)$ . El producto tensorial de ambos contiene dos copias de $\Lambda^2(V)\otimes S^2(V)$ por lo que siempre hay una órbita regular en $V^{\otimes 4}$ .

Si $V$ es un módulo de permutación, entonces $V=1\oplus W$ y $W\oplus W\leq V\otimes V$ . Por lo tanto, existe una órbita regular en $V^{\otimes 2}$ . Por supuesto, esto se generaliza a $V$ una suma arbitraria de módulos, pero tenemos que ser un poco cuidadosos para asegurarnos de que $V\otimes V$ es fiel.

Supongo que incluso cuando $V$ es simple que $G$ tiene una órbita regular en $V\otimes V$ pero esto no se ha demostrado, que yo sepa.

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Una vez tratado el caso de los coprimos, nos fijamos en el caso general. Aquí el tamaño de la base puede ser mayor que $2$ . Algunos trabajos recientes de Melissa Lee dan límites a los tamaños de las bases para grupos cuasi simples, pero hasta donde yo sé esto parece bastante difícil. Nótese que un resultado de Auslander--Carlson afirma que si $V$ es absolutamente indecomponible y de dimensión divisible por $p=\mathrm{char}(k)$ entonces $V\otimes V^*\otimes V$ contiene $V\oplus V$ . Esto significa que en esa situación sí obtenemos dos sumandos isomorfos a $V$ en $V^{\otimes 3}$ , siempre que $V$ es autodual. Por tanto, podemos volver a explotar los tamaños de las bases. En general, por supuesto, conocer los factores de composición de $V^{\otimes n}$ no te ayuda demasiado, porque necesitas factores de composición del zócalo para garantizar que consigues una órbita regular.

Mi opinión es que si $V=W_1\oplus W_2$ y cada $W_i$ tiene tamaño de base $2$ entonces, con pocas excepciones $V$ posee una órbita regular.