Una propiedad de la función de oscilación

Question

Estaba resolviendo un ejercicio de Análisis Real de Stein-Shakarchi, relativo al conjunto de discontinuidades de una función integrable de Riemann $f$ en $[a,b]$ .

Dejemos que $\mbox{osc}(f,c,r)=\sup \{ |f(x)-f(y)| : x,y \mbox{ lie in open ball of radius $ r $ around $ c $ and in $ [a,b] $} \}$

Es fácil ver que si $r<r'$ entonces ${\rm osc}(f,c,r) \le {\rm osc}(f,c,r')$ .

Definir $\mbox{osc}(f,c)=\lim_{r\rightarrow 0} {\rm osc}(f,c,r)$ .

Ejercicios: Para $\epsilon>0$ el conjunto $A_{\epsilon}:= \{ c\in [a,b] : \mbox{osc}(f,c)\ge \epsilon \}$ es un subconjunto cerrado de $[a,b]$ .

Intenté resolverlo pero no conseguí cuál es el punto clave para el cierre de $A_{\epsilon}$ . ¿Alguna pista?

Es posible que esta pregunta haya sido tratada aquí; pero sin buscar solución, lo intenté yo mismo, pero no procedí.

Answer 1

(1) Que $c_n$ sea una secuencia en $A_{\epsilon}$ con $c_n\rightarrow c$ . Mostramos $c\in A_{\epsilon}$ .

(2) Supongamos $c\notin A_{\epsilon}$ . Entonces ${\rm osc}(f,c)< \epsilon$ .

(3) $\Rightarrow$ ${\rm osc}(f,c,\frac{1}{k})<\epsilon$ para todo lo que sea suficientemente grande $k$ (digamos $k\ge k_0$ ).

(4) Considera $I:=(c-\frac{1}{k_0}, c+\frac{1}{k_0})$ Así que ${\rm osc}(f,I)<\epsilon$ .

(5) Elija $c_N$ tan cerca de $c$ que $J:=(c_N-\delta, c_N+\delta)$ estará en el intervalo $I$ para algunos $\delta>0$ .

(6) Ya que $J\subseteq I$ Así que ${\rm osc}(f,J)\le {\rm osc}(f,I) <\epsilon$ . Por lo tanto, ${\rm osc}(f,c_N)\le {\rm osc}(f,J)<\epsilon$ ; contradicción.