Dada la función $f(x) = 1 - \dfrac{|x|}{\pi}$ , había calculado sus coeficientes de Fourier, utilizando la integración por partes y obtuve:
$$ a_n = \begin{cases} 0, & \text{for $n$ even}, \\[6pt] \dfrac{2}{n^2\pi^2}, & \text{for $n$ odd}, \\[6pt] \dfrac{1}{2}, & \text{for }n = 0. \end{cases} $$
Entonces, sé que los coeficientes decaen como $\dfrac{1}{n^2}$ .
¿Y si ahora tomo $f(x)$ para ser $\left(1 - \dfrac{|x|}{\pi}\right)^4$ .
¿Qué es? $\lim\limits_{n\to\infty}$ $n^3a_n$ ?
Esta es la segunda parte de una pregunta en la que estoy trabajando, y la pregunta no pide una prueba detallada sino sólo la respuesta y el razonamiento que la sustenta.
Gracias,
Edición: Por supuesto, si iteramos la integración por partes suficientes veces, podemos calcular los coeficientes de Fourier para la nueva función. Pero esto es un poco de cálculo y estoy seguro de que no es el punto de la pregunta - parte 1 de la pregunta ya pidió el cálculo explícito de la $a_n$ 's. No estoy seguro de cómo proceder, sin el cálculo directo. Tal vez hay condiciones de decaimiento / crecimiento de la $a_n$ y propiedades de convergencia de las series de Fourier que no conozco...
