Si $A$ es abeliano, entonces $Ext(G,A)\cong H^2(G,A).$

Question

Como dice el título, quiero demostrar que $Ext(G,A)\cong H^2(G,A),$ donde $A$ es un grupo abeliano. Esto es lo que he hecho hasta ahora:

Consideremos una extensión de los grupos $1\longrightarrow A\longrightarrow M\longrightarrow G\longrightarrow 1$ donde $A$ es abeliano. Como $M\longrightarrow G$ es suryente tiene una sección teórica de conjuntos $s:G\longrightarrow M.$ Entonces, para cada $g_1,g_2\in G,$ existe $a(g_1,g_2)\in A$ tal que $$s(g_1)s(g_2)=a(g_1,g_2)s(g_1g_2).$$ Entonces se puede demostrar que $a:G\times G\longrightarrow A$ es un $2-$ cocycle. Del mismo modo, si $t:G\longrightarrow M$ es otra opción de sección, obtenemos otra $2-$ cocycle $b:G\times G\longrightarrow A$ tal que $$t(g_1)t(g_2)=b(g_1,g_2)t(g_1g_2).$$ Desde $s$ y $t$ son ambas secciones de $M\longrightarrow G,$ hay un mapa $\alpha:G\longrightarrow A$ tal que $$t(g)=\alpha(g)s(g).$$ Ahora, tras algunos cálculos se puede demostrar que $a$ y $b$ tienen la misma clase en $H^2(G,A).$ Ahora hemos asociado a la extensión $M$ de $G$ por $A$ un elemento de $H^2(G,A).$ He podido demostrar que este mapa es una biyección. Ahora sólo me falta demostrar que es un homomorfismo de grupo, pero estoy teniendo problemas con esto. Agradecería que alguien me ayudara con esto. ¡Gracias por su tiempo!

Nota: Soy nuevo en la cohomología de grupos, así que sólo estoy al tanto de las cosas básicas. Si usted puede apuntarme en una dirección donde puedo conseguir una mejor comprensión de estas cosas, realmente lo apreciaría.

Answer 1

La operación de grupo de ${\rm Ext}(G,A)$ viene dada por el Suma de Baer :

Si $1\to A\to M\overset f\to G\to 1$ y $1\to A\to N\overset g\to G\to 1$ son extensiones, entonces primero formamos el pullback $P$ de $f$ y $g$ : $$P=\{(m,n):f(m)=g(n)\}\subseteq M\times N$$ y luego lo cotizamos por el subgrupo normal $A^*$ generado por $\{(a,a^{-1}):a\in A\}$ para que $[m,an]=[(a,a^{-1})(m,an)]=[am,n]$ en $P/A^*=:U$ para cualquier $a\in A,\,m\in M,\,n\in N$ donde $[m,n]$ denota el $A^*$ -coste de $(m,n)$ .
Finalmente, la secuencia exacta corta inducida $1\to A\overset\iota\to U\to G\to 1$ será el suma de las dos extensiones originales.

Ahora, dejemos que $s:G\to M$ y $t:G\to N$ sean secciones teóricas de conjuntos con $2$ -ciclos $a$ y $b$ respectivamente.
Entonces, $[s,t]:=g\mapsto [s(g),\,t(g)]\,\in U$ es una sección teórica de conjuntos de $U\to G$ que satisface $$[s,t](g_1)\cdot [s,t](g_2)\ =\ [s(g_1)s(g_2),\ t(g_1)t(g_2)]\ =\ \\ =\ [a(g_1,g_2)s(g_1g_2),\ b(g_1,g_2)t(g_1g_2)]\ =\ [b(g_1,g_2)a(g_1,g_2)s(g_1g_2),\ t(g_1g_2)]\ = \\ =\ \iota\big(a(g_1,g_2)b(g_1,g_2)\big)\cdot[s,t](g_1g_2)\,.$$