En primer lugar, el artículo de Mazur es posiblemente el primer artículo en el que las nuevas ideas (y el lenguaje) de la revolución de Grothendieck en la geometría algebraica se adoptaron plenamente y se utilizaron de forma crucial en la teoría pura de los números. Aquí hay varios ejemplos notables: Mazur hace un uso crucial de la teoría de los esquemas de grupos planos finitos para entender el comportamiento del $p$ -módulos Tate de Jacobianos en el primo $p$ . Estudia las formas modulares de nivel uno sobre anillos finitos (que no necesitan elevarse a la característica cero cuando la característica del residuo es $2$ o $3$ ). Demuestra teoremas sobre mod- $p$ formas modulares utilizando lo que son esencialmente teoremas de comparación entre la cohomología etale y la cohomología de Rham, y muchos más ejemplos. La demostración del teorema principal ( $\S5$ a partir de la página 156) es a su vez una prueba muy moderna que utiliza fundamentalmente el punto de vista de $X_0(N)$ como un esquema.
En segundo lugar, hay muchas ideas hermosas que tienen su original en este documento: contiene muchas de las primeras ideas innovadoras para estudiar $2$ -Las representaciones de Galois de dimensión (y más allá), incluyendo el vínculo entre las propiedades geométricas (multiplicidad uno) y las propiedades aritméticas, las concepciones geométricas para estudiar las congruencias entre las representaciones de Galois, la comprensión de la importancia de la propiedad finito-plana de los esquemas de grupo, y la identificación de la propiedad Gorenstein. Hay una teoría $p$ -descenso en el cociente de Eisenstein cuando antes los descensos eran casi todos explícitos $2$ -descenso con ecuaciones específicas. Introduce el cociente de enrollamiento, y así sucesivamente.
En tercer lugar, si bien es un documento denso, lo es de la mejor manera posible: muchas de las pequeñas distracciones podrían haber sido interesantes por sí solas. De hecho, incluso los lectores más cercanos del documento pueden encontrar hoy en día conexiones entre los desvíos de Mazur y las matemáticas de vanguardia. Cuando Mazur plantea una cuestión en el texto, ésta es casi siempre muy interesante. Un hábito particular (grande) que tiene Mazur es pensar en varios isomorfismos y al fijar varias opciones canónicas identifica invariantes refinados. Por poner un ejemplo al azar, consideremos su exploración del subgrupo Shimura al final de la sección 11. Termina con una pregunta que, para un lector casual, podría ser un comentario desechable. Pero esta cuestión fue resuelta por primera vez por Merel y, más recientemente, se ha generalizado en un buen trabajo de Emmanuel Lecouturier. Las ideas de Lecouturier desempeñaron luego un papel importante en el trabajo de Michael Harris y Akshay Venkatesh. De nuevo, se podrían dar muchos más ejemplos de este tipo. Muy pocos trabajos tienen la riqueza de las notas a pie de página y de los complementos que tiene este trabajo. No hay que olvidar que una de las cosas más difíciles en matemáticas es plantear preguntas y observaciones interesantes, y este artículo contiene muchas y muy buenas: está repleto de ideas de un matemático verdaderamente creativo.
Por último, el resultado en sí es sorprendente, y (prácticamente) sigue siendo el único método disponible para demostrar el teorema principal (la segunda demostración debida a Mazur está muy relacionada con ésta). Para hacernos una idea de la grandeza del teorema, observemos que si $E$ es una curva elíptica semiestable, entonces $E$ es isógena a una curva con un $p$ -punto de torsión, o $E[p]$ es absolutamente irreducible. Este resultado ( añadido para mayor claridad: explícitamente, el Teorema de Mazur que $E/\mathbf{Q}$ no tiene un $p$ -punto de torsión para $p > 7$ ) se utiliza de forma crucial en la prueba de Fermat de Wiles. Ciertamente, se podría argumentar que sin este artículo (y la forma en que transformó la teoría algebraica de los números) no habríamos tenido la prueba de Fermat de Wiles, pero incluso es literalmente cierto que el teorema de Mazur era (y sigue siendo hoy, más de 40 años después) un paso esencial en cualquier prueba de Fermat.
