¿Hay una prueba «escuela primaria» de la infinitud del completamente divididas virgulillas?

Question

Sea K una extensión de Galois de los racionales con grado n. El Chebotarev Densidad Teorema garantiza que el racional de los números primos que dividen completamente en K tiene densidad 1/n y por lo tanto hay infinitamente muchos de esos números primos. Como Kevin Ratonero me señaló en un comentario, hay una manera más simple de ver que hay infinitamente muchos racional de los números primos que dividen completamente en K, es decir, la de Dedekind zeta-función z_K(s) tiene un simple polo en s = 1. Si bien este resultado es sin duda mucho más fácil de probar que Chebotarev del Teorema, todavía no es un elemental de la prueba.

Hay un conocido primaria prueba del hecho de que hay infinitamente muchos racional de los números primos que dividen completamente en K?

Selberg primaria de la prueba de Dirichlet del Teorema de los números primos en progresiones aritméticas maneja el caso de que Gal(K/Q) es Abelian. No sé nada sobre el caso general. Desde del Teorema de Dirichlet es más fuerte de lo necesario, es posible que una simple prueba de que existe incluso en el Abelian caso.

Comentarios sobre el significado de primaria. Soy consciente de que no es uniformemente reconocido definición de "elemental" a prueba de teoría de números. Mientras que no estoy en contra de las distintas definiciones, mi definición personal es una prueba que puede ser llevado a cabo en el primer orden de la aritmética, es decir, sin la cuantificación sobre los números reales o superior-tipo de objetos. Obviamente, yo no lo requieren ser formulada explícitamente en que, aunque lógicos, no hagas eso! Las probabilidades son de que lo que usted cree es la primaria es también elemental en mi sentido.

Kurt Gödel observó que las pruebas de (de primer orden) aritmética de los hechos puede ser mucho, mucho más corto en segundo orden aritmético que en primer orden de la aritmética. Esta observación explica algunos de la eficacia de la teoría analítica de números, que implícitamente es de segundo orden. En vista de Gödel de la observación, es posible que nos hemos encontrado aritmética hechos con un plazo razonablemente corto de segundo orden de la prueba (es decir, se podría encontrarse en una teoría analítica de números de libros de texto), pero no razonable de primer orden de la prueba (es decir, la producción de cualquier prueba necesariamente agotar todos nuestros recursos naturales). El de arriba es raro, pero es interesante saber que las bestias de este tipo podría existir...

Answer 1

Por el primitivo elemento teorema, $K=\mathbb{Q}(\alpha)$ para algunos distinto de cero $\alpha \in K$, y podemos suponer que el polinomio mínimo de $f(x)$ $\alpha$ tiene coeficientes enteros. Deje que $\Delta$ ser el discriminante de $f$. Desde $K/\mathbb{Q}$ es de Galois, un primer $p \nmid \Delta$ divide completamente en $K$ si y sólo si existe un grado $1$ prime por encima de los $p$, que es si y sólo si $p | f(n)$ $n \in \mathbb{Z}$. Supongamos que el conjunto $P$ de tales números primos es finito. Agrandar $P$ para incluir los números primos dividiendo $\Delta$. Vamos a $t$ ser un entero positivo tal que $\operatorname{ord}_p t> \operatorname{ord}_p f(0)$ para todo $p \in P$. Para cualquier entero $m$ tenemos $f(mt) \equiv f(0) \;(\bmod \; t)$, entonces $\operatorname{ord}_p f(mt) = \operatorname{ord}_p f(0)$ para todo $p \in P$. Pero $f(mt) \to \infty$ $m \to \infty$, por lo que al final debe haber un primer factor fuera de $P$, contradiciendo la definición de $P$.

Answer 2

No creo Lenstra y de Stevenhagen artículo

Primos de grado uno y algebraica del teorema de Čebotarev, L'Enseign. Matemáticas. 37 (1991), 17-30

se ha mencionado todavía. Está disponible en línea aquí.

Answer 3

Hay un viejo fáciles de la prueba del hecho de que existen infinitos números primos de $p$, $p \equiv 1 \bmod$ n: Deja que $\Phi_n(X)$ ser $n$-th cyclotomic polinomio. Demostrar que $\Phi_n(X)$ tiene una raíz en $\mathbb{F}_p$ si y sólo si $p \equiv 1 \bmod$ n. Hacer como en Euclid de la prueba de la infinitud de los números primos: si $p_1, \dots, p_r $ son números primos $\equiv 1 \bmod n$ considerar $\Phi_n(n p_1 \dots p_r)$. Es más grande que 1 y no divisible por ninguno de los $p_i$ o de cualquier otro primer dividiendo $n$. Así que esto demuestra la declaración de cyclotomic campos.

Answer 4

Si $p | f(n)$ precisamente, uno de los ideales de $(n - \sigma(\alpha))\mathcal{S}_K$ debe tener un factor de p $\mathcal{S}_K$ en su factorización y por lo tanto todos ellos. Por lo tanto p $\mathcal{S}_K$ divide a un producto de $deg(f)$ ideales y, por tanto, todos ellos deben tener grado uno.

Uno podía ver bastante elementarily que existen infinitos números primos que dividen a un cierto valor de $f$, precisamente: si $p$ no es un número primo, entonces si $p^2 | f(n)$, entonces $p^2 | f(n + p) = f(n) + pf'(n) + p^2A$ para algún entero $$ y por tanto $p | f'(n)$. Por lo tanto $n$ es un común cero de tanto $f, f'$ en $\mathbb{F}_p$, lo que no puede suceder por $p$ lo suficientemente grande, como $Res(f, f')$ no se desvanecen.