Resolver una ecuación con una función "anidada"

Question

En un pequeño cálculo que estoy haciendo por diversión, me he encontrado con esta ecuación que implica una función de dos argumentos que se anida en el lado derecho:

$$f(t_1 + t_2, K) = f\bigl(t_2, f(t_1, K)\bigr)$$

Busco funciones $f$ que satisfacen esta ecuación para todos los $t_1,t_2 \ge 0$ , $K > 0$ dada la condición $f(0, K) = K$ y que $f$ es (EDIT:) continuamente diferenciable a trozos en $t$ .

Si asumo que la solución tiene la forma $f(t, K) = Kg(t)$ entonces puedo reducir esto a Ecuación funcional de Cauchy y a partir de ahí demostrar que la única solución es $f(t, K) = K e^{at}$ para cualquier constante $a$ . Pero me gustaría relajar esa suposición si es posible; tengo curiosidad por otras formas posibles, donde $f(t, K)$ puede tener una dependencia diferente de $K$ . ¿Hay algún método que pueda utilizar para encontrar otras soluciones de este tipo, si es que existen, o para demostrar que no existen?

Answer 1

Algebraicamente, su ecuación equivale a decir que $f$ define un homomorfismo de grupo continuo desde $(\mathbb R,+)$ al grupo de funciones invertibles (¿y continuas?) $\mathbb R_+\to\mathbb R_+$ bajo la composición de funciones.

La estructura aritmética de $\mathbb R_+$ no importa, sólo la topología (y la suavidad). Así que puedes tomar tu solución y conjugarla con cualquier biyección suave $g: \mathbb R_+\to\mathbb R_+$ : $$f_g(t,K) = g(g^{-1}(K)e^t)$$

(Hmm, me perdí la $t\ge 0$ por lo que sólo tiene que ser un homomorfismo monoide. Esto permite aún más soluciones, como la de Didier $at+K$ ).