¿Qué tienen que ver las funciones theta con la reciprocidad cuadrática?

Question

El función theta es la función analítica $\theta:U\to\mathbb{C}$ definido en el semiplano derecho (abierto) $U\subset\mathbb{C}$ por $\theta(\tau)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\pi n^2 \tau}$ . Tiene la siguiente propiedad de transformación importante.

Reciprocidad Theta : $\theta(\tau)=\frac{1}{\sqrt{\tau}}\theta\left(\frac{1}{\tau}\right)$ .

Este teorema, aunque es fundamentalmente analítico -la prueba es sólo la suma de Poisson unida al hecho de que una gaussiana es su propia transformada de Fourier- tiene un gran significado aritmético.

• Es el ingrediente clave en la demostración de la ecuación funcional de la función zeta de Riemann.

• Expresa la automorfo de la función theta.

La reciprocidad de Theta también proporciona una prueba analítica (en realidad, la sólo prueba, que yo sepa) de la relación Landsberg-Schaar

$$\frac{1}{\sqrt{p}}\sum_{n=0}^{p-1}\exp\left(\frac{2\pi i n^2 q}{p}\right)=\frac{e^{\pi i/4}}{\sqrt{2q}}\sum_{n=0}^{2q-1}\exp\left(-\frac{\pi i n^2 p}{2q}\right)$$

donde $p$ y $q$ son enteros positivos arbitrarios. Para demostrarlo, aplique la reciprocidad theta a $\tau=2iq/p+\epsilon$ , $\epsilon>0$ y, a continuación, deja que $\epsilon\to 0$ .

Esto se reduce a la fórmula de la suma cuadrática de Gauss cuando $q=1$ :

$$\sum_{n=0}^{p-1} e^{2 \pi i n^2 / p} = \begin{cases} \sqrt{p} & \textrm{if } \; p\equiv 1\mod 4 \\\ i\sqrt{p} & \textrm{if } \; p\equiv 3\mod 4 \end{cases}$$

(donde $p$ es un primo impar). A partir de esto, no es difícil deducir el "teorema de oro" de Gauss.

Reciprocidad cuadrática : $\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{(p-1)(q-1)/4}$ para los primos Impares $p$ y $q$ .

A modo de referencia, esto se trabaja en detalle en el documento " Aplicaciones de los núcleos de calor en grupos abelianos: $\zeta(2n)$ , reciprocidad cuadrática, integrales de Bessel "de Anders Karlsson.

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Siento que hay alguna matemática profunda entre bastidores aquí, pero no sé qué.

¿Por qué deberíamos esperar que la reciprocidad theta esté relacionada con la reciprocidad cuadrática? ¿Existe una explicación de alto concepto para este fenómeno? Si la hay, ¿puede generalizarse a otras leyes de reciprocidad (como la reciprocidad de Artin)?

Esperemos que algún sabio teórico de los números pueda arrojar algo de luz sobre esto.

Answer 1

Una forma de tropezar con la reciprocidad cuadrática mientras se estudian las funciones theta es tratar de demostrar que la construcción de Weil de una "representación Segal-Shale-Weil/oscilador" realmente es una representación y realmente produce formas automórficas. Esto llevaría a una persona a ver que ciertos productos de caracteres locales deben ser caracteres de Hecke... y que la suma de Poisson lo demuestra exactamente.

Con algo más de detalle: dado un campo local $k$ (tal vez no char 2), el "básico" local El repn de Segal-Shale-Weil es un repn de una cubierta doble $Mp_1(k)$ sobre las funciones de Schwartz en $k$ . Para $K$ o bien una extensión cuadrática de $k$ o $k\oplus k$ la repn análoga de $Mp_1(k)$ desciende a $SL_2(k)$ ya que el ciclo correspondiente se "divide". Sin saber siquiera cómo verificar ese desdoblamiento, aún se podría intentar ensamblar directamente este repn local a partir de una descomposición de Bruhat y de la acción del radical unipotente estándar, el Levi estándar y el elemento de Weyl.

Es decir, con la idea aproximada de que el elemento de Weyl debe ser la transformada de Fourier, hasta el signo..., que la componente de Levi debe actuar por dilatación, hasta tal vez un carácter y una norma para que el operador sea unitario, y que el radical unipotente debe actuar por multiplicación por una exponencial cuadrática... (que uno podría obtener del repn del álgebra de Lie de $SL_2(\mathbb R)$ en varios espacios de funciones en $\mathbb R$ !!!)... se ve que para que estas piezas encajen para hacer un repn, la acción de Levi no es, en efecto, sólo dilatación (con ajuste por norma), sino torcida por el carácter de residuo de norma unido a $K/k$ . Esto da un repn de $O(N_{K/k})\times SL_2(k)$ viendo la norma como una forma cuadrática en $K$ .

Cuando la situación local se produce en todos los lugares de una extensión del campo de números $K/k$ (o el campo de la función, también, aunque evitando el char $=2$ ), se puede intentar aplicar esto al par global $O(N_{K/k})\times SL_2(k)$ para hacer series binarias theta y "formas de onda especiales" levantando los caracteres de Hecke del grupo adele de $SO(K/k)$ al grupo adele de $SL_2(k)$ . Esta es la "correspondencia theta" más pequeña e interesante, y el caso holomórfico era conocido por Hecke, y el caso ondulatorio era la tesis de Maass, aunque por supuesto escribieron las cosas de forma clásica y sobre $\mathbb Q$ .

A una función de Schwartz $\varphi$ en los adelantos de $K$ adjuntar un "núcleo theta" por $\theta_\varphi(g,h)=\sum_{\lambda\in K} \big((g,h)\cdot \varphi\big)(x+\lambda)$ donde $g,h$ están en el adelanto $SL_2(k)$ y $O(N_{K/k})$ . Esto es inmediatamente invariante bajo la acción de los puntos racionales de $O(N_{K/k})$ pero no es obvio que sea invariable bajo $SL_2(k)$ . Pero, como era de esperar (!), se puede comprobar que es .

Un punto es que el carácter por el que actúa el Levi es un carácter de Hecke. Si no lo es, el núcleo theta no será convenientemente invariante... pero/y uno utiliza la suma de Poisson y los cálculos naturales para demostrar que es un carácter de Hecke. ¡Genial! Es decir, se demuestra que el producto de los símbolos de residuos de la norma local es un carácter de Hecke. A partir de esto, se demuestra la reciprocidad correspondiente para los símbolos cuadráticos de Hilbert, y luego para los símbolos cuadráticos.

El argumento no es tan corto como uno desearía... pero es bastante natural.

No acabé de ver/encontrar exactamente ese argumento en Weil, a pesar de que lo busqué de nuevo más tarde, quizá por el estilo de su obra, pero/y estoy seguro de que él diría que está implícito, y uno ve que debe estarlo.

Después de que pasé por la historia anterior de primera mano hace años, escribí el spin-off que demuestra la reciprocidad cuadrática sobre campos globales no char cero... una versión recientemente revisada está en http://www.math.umn.edu/~garrett/m/v/quad_rec_02.pdf

Answer 2

Hecke generalizó el argumento que mencionas para demostrar la reciprocidad cuadrática relativa a cualquier campo numérico dado $K$ (véase, por ejemplo, su Conferencias sobre la teoría de los números algebraicos ).

En La prueba analítica de Fourier de la reciprocidad cuadrática Michael C. Berg describe el desarrollo posterior de esta línea de investigación. Citando el resumen del libro:

El caso cuadrático relativo fue primero resuelto por Hecke en 1923, y luego refundido por Weil en 1964 en el lenguaje de las representaciones de grupos unitarios. El sitio web prueba analítica del caso general de n-ésimo orden es todavía un problema abierto hoy en día, que se remonta al final del del famoso tratado de Hecke de 1923.

Answer 3

Esto no es una respuesta sino un comentario sobre la relación Landsberg-Schaar (LS). No sólo admite una prueba analítica. El artículo Una prueba de la relación Landsberg-Schaar por métodos finitos de Ben Moore ofrece una prueba elemental de la LS. Pero esta prueba es excesivamente complicada. La LS se puede demostrar en dos líneas.

Es bien sabido que una función arbitraria de valor complejo $f$ se representa por su serie de Fourier finita (discreta) $$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\widehat{f}_n(k)e\left(\frac{kx}{n}\right)\qquad(0\le x<n),$$ con coeficientes de Fourier finitos $$\widehat{f}_n(k)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{x=0}^{n-1}f(x)e\left(-\frac{kx}{n}\right)\qquad(0\le k<n)$$ donde $e(t)=e^{2\pi it}$ . El primer paso es "Un análogo discreto de la fórmula de suma de Poisson" : i $n=n_1n_2$ entonces $$\sum\limits_{x=0}^{n_2-1}f(n_1x)=n_2 \sum\limits_{x=0}^{n_1-1}\widehat{f}_n(n_2x).$$ Se deduce directamente de la fórmula de $\widehat{f}_n(k)$ .

La función $f(x)=e\left(x^2/( 4pq)\right)$ es periódica con el periodo $n=2pq$ y \begin{align*} \widehat{f}_{2pq}(k)=&\frac{1}{ 2pq}\sum_{y=0}^{2pq-1}e\left(\frac{y^2-2ky}{ 4pq}\right)=\frac{1}{ 2pq}\sum_{y=0}^{2pq-1}e\left(\frac{(y-k)^2-k^2}{ 4pq}\right)=\\=& \frac{1}{ 2pq}e\left(-\frac{k^2}{ 4pq}\right)\sum_{y=0}^{2pq-1}e\left(-\frac{y^2}{ 4pq}\right)=\frac{1}{ 2pq}e\left(-\frac{k^2}{ 4pq}\right)\cdot\frac{S(4pq)}{ 2}, \end{align*} donde $$S(p)=\sum\limits_{x=1}^{p}e(x^2/p)=\frac{1+i^{-p}}{1+i^{-1}}\cdot\sqrt{p}$$ es una suma de Gauss. Así que (el segundo paso) aplicando la fórmula de suma discreta de Poisson a $f$ con $n_1=2q$ , $n_2=p$ y $n=n_1n_2=2pq$ obtenemos la fórmula $$\sum_{x=0}^{p-1}e\left(\frac{qx^2}{ p}\right)=\frac{S(4pq)}{4q}\sum_{x=0}^{2q-1}e\left(-\frac{px^2}{ 4q}\right),$$ que es equivalente a LS.