Familias parametrizadas en un lenguaje categórico

Question

Sea $X$ un conjunto, y para cada $x\in X$ sea $Y_x$ un espacio vectorial complejo.

¿Existe un lenguaje estándar y amplio para tal cosa en términos de las categorías de conjuntos y de espacios vectoriales complejos? Parece que la idea de una función de teoría de conjuntos de un objeto en una categoría al conjunto de objetos en otra categoría es un poco inadecuada.

Answer 1

Hay varias formas de pensar en este tipo de cosas. Otra buena es a través de categorías fibradas. Hay un funtor $T: \mathcal E \to \mathrm{Set},$ donde los objetos de $\mathcal E$ son pares de un conjunto $X$ y una familia indexada por $X$ de espacios vectoriales. Para cualquier función $f: X \to Y,$ hay una operación de retrotracción que envía una familia $V=(V_y)_{y\in Y}$ a la familia $f^*V=(V_{f(x)})_{x\in X},$ y en general, los morfismos de $(V,X)$ a $(U,Y)$ se dan eligiendo alguna $f:X\to Y$ y un morfismo $V\to f^*U,$ donde la definición de morfismo entre dos familias de espacios vectoriales sobre $X$ es probablemente lo que piensas que es.

Con toda esa estructura en su lugar, el funtor $T$ (que simplemente envía $(V,X)$ a $X$) es de un tipo especial, llamado una fibración de Grothendieck. Una categoría fibrada es el dominio de una fibración de Grothendieck. En general, una fibración de Grothendieck puede identificarse con un tipo débil de funtor de su codominio en la 2-categoría de categorías, enviando cada $X$ en este caso a la categoría de familias indexadas por $X$ de espacios vectoriales.

Esta puede que no sea el tipo de respuesta que esperabas, ya que encontraste la idea de una función de un conjunto a un conjunto (clase, realmente) de objetos, inestética. Si es así, bueno, de todos modos, eso es realmente un problema de teoría de conjuntos. La teoría de categorías trata sobre categorías, no sobre la naturaleza concreta de sus objetos.

Dicho esto, esto mueve tu enfoque en una dirección productiva, a examinar las relaciones categóricas entre las distintas categorías de espacios vectoriales indexados por $X$. Las fibraciones de Grothendieck también pueden generalizarse mucho más allá de este ejemplo, y tienen una teoría extremadamente rica. Por ejemplo, las fibraciones de Grothendieck sobre un topos arbitrario generalizan de manera muy efectiva las categorías localmente pequeñas--se pueden estudiar sus límites y colímites preguntando por adjuntos a funtores como $f^*,$ y luego propiedades de completitud, etc. Así que de hecho existe un lenguaje estándar, amplio y poderoso en el que encaja tu ejemplo.