Concatenación infinita de homotopías

Question

En el capítulo 0 del libro de Topología Algebraica de Hatcher, se demuestra que los pares CW $(X,A)$ tienen la propiedad de extensión de homotopía (pg 15- incluiría una imagen, pero no tengo suficiente reputación para hacerlo).

Lo que no entiendo es lo de la "concatenación infinita de homotopías". Si tenemos retracciones de deformación $F_n:A_n\times [2^{-n-1},2^{-n}]\to B_n$ , $A_n\subseteq A_{n+1}$ , $B_n\subseteq B_{n+1}$ entonces cómo se consigue una retracción de la deformación $F:\cup_nA_n\times I\to \cup_nB_n$ (suponiendo que la unión tiene la topología débil inducida por las inclusiones del $A_n$ ). El problema es que $\cup_n(A_n\times [2^{-n-1},2^n])$ no cubre $\cup_nA_n\times I$ , por lo que no podemos pegar el $F_n$ s en $F$ . Pensé que $F(x,t)$ debe ser definida por $F_n(x,t)$ donde $n$ es el menor número entero para el que $x\in A_n$ pero entonces no es necesario tomar el $F_n$ s en los intervalos $[2^{-n-1},2^{-n}]$

Answer 1

En primer lugar, observe que $X^n\times I\subset X^{n+1}\times\{0\}\cup\left(X^n\cup A^{n+1}\right)\times I$ Es decir, en su notación $B_n\subset A_n\subset B_{n+1}$ (así $\cup A_n=\cup B_n=X\times I$ ).
Denotemos ahora la homotopía contratante de $X^n\times I$ a $X^n\times\{0\}\cup\left(X^{n-1}\cup A^n\right)\times I$ parametrizado por $[1/2^{n+1},1/2^n]$ , por $H_n$ . ampliarlo a $X^n\times I\cup A\times I\cup X\times\{0\}$ por identidad (tiene sentido ya que $H_n$ es la homotopía de identidad en $A^n\times I\cup X^n\times\{0\}$ ).
Ahora dejemos que $x$ sea un punto en $X^n\times I-A\times I$ . Lo que ocurre con x es que hasta $t=1/2^{n+1}$ el punto no se mueve, entonces en el intervalo $[1/2^{n+1},1/2^n]$ se mueve según $H^n$ . En $t=1/2^n$ , $x$ está en $X\times\{0\}$ o en $A\times I$ y se queda ahí, o termina en $X^{n-1}\times I$ y continúa moviéndose con los siguientes homotopos. Formalmente, $$H(x,t)= \begin{cases} x & t<1/2^{n+1} \\ H_n(x,t) & t\in[1/2^{n+1},1/2^n] \\ H_m(H(x,1/2^{m+1}),t) & t\in[1/2^{m+1},1/2^m],m<n \end{cases}$$ esta definición es recursiva, pero finita, y cubre toda la $X\times I$ debido a la extensión que hicimos anteriormente.