La función $\ \displaystyle f(x)=\int_{x}^{x^2}\!\!\!\! t \ln t\,dt$ , $\ x>0 \ $ ¿en qué intervalo aumenta?

Question

La función $\ \displaystyle f(x)=\int_{x}^{x^2}\!\!\! t \ln t\,dt$ , $\ x>0 \ $ es creciente en el intervalo

$$ (A)\left(\frac{1}{2},\infty\right)\qquad (B)\left(0,\infty\right)\qquad (C)\left(0,\frac{1}{2}\right)\qquad (D) \text{ none } $$

Sus límites no son números, ¿qué hacer? ¿Ayuda, por favor?

Answer 1

$f'(x)=2x (2\ln(x)x^2)-x\ln(x)=x\ln(x)(4x^2-1)$

Así, $f'(x)$ toma el signo de $\ln(x)(4x^2-1)$

Hacer una mesa de firmas para $\ln(x)$ y $(4x^2-1)$ deberías poder ver que la solución es C.

Answer 2

Si $G(t)$ es una primitiva de $tln(t)$ función entonces: $$ f(x) = G(x^2) - G(x) $$ y $$ f'(x) = 2xG'(x^2) - G'(x)=2x * x^2 * ln(x^2) - x*lnx=4x^3lnx-xlnx=x(4x^2 - 1)lnx $$ Para que f aumente f' debe ser positivo, por lo que $$ x(4x^2 - 1)lnx > 0 $$ por lo tanto $0< x < 1/2$ o $x > 1$

Answer 3

Por integración por partes obtenemos:f(x) = (x^2/4)((8lnx-1)(x^2-1)+4lnx). He dibujado la gráfica de esta función y he encontrado que para x>0 la función es creciente en el intervalo (0,1/2). Después de eso, la función disminuye hasta 0. Entonces después de 0 es creciente para siempre. Así que la respuesta correcta es C.