Demostrar que $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^z}$ converge localmente de manera uniforme en el conjunto $\textrm{Re}(z) > 1$

Question

Estoy tratando de averiguar cómo mostrar que $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^z}$$ converge localmente de manera uniforme en el conjunto $\textrm{Re}(z) > 1$ Las únicas ideas que se me ocurren son intentar utilizar el test M de Weierstrass pero no se me ocurre ninguna $M_n$ que se aplicaría y tratando de demostrar que la sucesión es uniformemente Cauchy en dicho conjunto, pero tampoco se avanzó en eso.

Gracias.

Answer 1

Tome un conjunto compacto $K$ contenida en $\{\operatorname{Re}(z) > 1\}$ entonces existe $\epsilon > 0$ tal que $$z \in K \implies \operatorname{Re}(z) > 1 + \epsilon.$$

Ahora tenemos

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac 1 {|n^z|} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{1 + \epsilon}} < \infty$$

y el Weierstrass $M$ -se aplica la prueba.