Una extensión finita con un número finito de campos intermedios es simple

Question

Es bien sabido que es $E$ es una extensión finita simple sobre $F$ entonces tiene un número finito de campos intermedios.

En realidad, las notas de Minle dicen que si una extensión finita tiene campos intermedios finitos, ¡entonces es simple! Tengo curiosidad por este hecho, ¿podría alguien dar una prueba? Gracias.

Answer 1

Dejemos que $E/F$ es una extensión finita (digamos $[E:F]=n$ ). Si $F$ es un campo finito, el resultado es bastante trivial, así que supongamos $F$ es infinito.

Llegados a este punto, está claro que sólo tenemos que comprobar el caso $E=F(a,b)$ es simple, es decir $n=2$ y podemos concluir el resultado general de forma inductiva.

Consideremos ahora todas las extensiones de campo de $F$ de la forma $F(ax+b)$ , para $x \in F$ . Desde $F$ debe tener un número infinito de elementos, hay infinitas opciones para $x$ . Desde $F$ sólo tiene un número finito de campos intermedios, existe $x\neq y \text{ in } F$ tal que $F(ax+b)=F(ay+b)$ . Establecer $c=ax+b$ . Desde $F(c) =F(ax+b)\subseteq F(a,b)$ basta con mostrar $a,b \in F(c)$ . Desde $x\neq y$ y $ay+b \in F(c)$ tenemos $$a=\frac{a(x-y)}{x-y}=\frac{(ax+b)-(ay+b)}{x-y} \in F(c)$$

De la misma manera, $b=c-ax\in F(c)$ Por lo tanto $$F(c)=F(a,b)$$