Dejemos que $f:G \to G$ sea una función tal que $f(a)f(b)f(c)=f(x)f(y)f(z) , \forall a,b,c,x,y,z \in G$ tal que $abc=xyz=e$ entonces es cierto que $\exists g\in G$ para que $h:G\to G$ definido como $h(x):=gf(x)$ es un homomorfismo ?
Respuesta
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La respuesta es SÍ. Tomando $a=b=c=e$ la hipótesis inicial se puede reescribir como
$$ f(x)f(y)f(y^{-1}x^{-1})=f(e)^3 \ (x,y\in G) \tag{1} $$ De (1) se deduce que $f(e)f(x)f(x^{-1})=f(e)^3=f(x)f(e)f(x^{-1})$ para que $$ f(e)f(x)=f(x)f(e) \ (x\in G)\tag{2} $$ (Gracias a Zoe H por señalarlo). Pongamos ahora $h(x)=f(e)^{-1}f(x)$ Entonces $h(x)=f(x)f(e)^{-1}$ por (2), y $f(x)=f(e)h(x)=h(x)f(e)$ . Entonces (1) da como resultado $f(e)h(x)f(e)h(y)f(e)h(y^{-1}x^{-1})=f(e)^3$ o
$$ h(x)h(y)h(y^{-1}x^{-1})=e \ (x,y\in G) \tag{3} $$ Tomando $y=e$ en (3), tenemos $h(x^{-1})=h(x)^{-1}$ para cualquier $x$ . De ello se desprende que $h(y^{-1}x^{-1})=h(xy)^{-1}$ (3) es, por tanto, equivalente a $h(xy)=h(x)h(y)$ y $h$ es un homomorfismo como se requiere.
