El functor adjunto derecho es exacto a la izquierda. Tengo curiosidad por la afirmación inversa.
Gracias.
Respuesta
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El functor $T:FAb\to FAb$ de grupos abelianos finitamente generados a grupos abelianos finitamente generados llevando un grupo a su subgrupo de torsión es exacta a la izquierda.
Supongamos que existe un functor $G:FAb\to FAb$ que es un adjunto a la izquierda de $T$ , de modo que para todos los grupos abelianos f.g. $M$ y $N$ tenemos $\hom(GM,N)=\hom(M,TN)$ . En particular, tomando $M=\mathbb Z$ vemos que si ponemos $X=G\mathbb Z$ hay un isomorfismo natural $TN=\hom(X,N)$ .
No hay ningún grupo abeliano f.g. $X$ con esta propiedad.
De hecho, supongamos que existe tal $X$ y que $X=\mathbb Z^l\oplus F$ con $F$ un grupo abeliano finito. Si $p$ es un número primo que no divide el orden de $F$ entonces $\hom(X,\mathbb Z/p\mathbb Z)=\hom(\mathbb Z^l,\mathbb Z/p\mathbb Z)$ tiene $p^l$ elementos, y tiene que ser isomorfo a $\mathbb Z/p\mathbb Z$ se deduce que $l=1$ . Ahora bien, si $N$ es un grupo abeliano f.g. infinito, tenemos ahora que $\hom(X,N)$ es infinito, mientras que el subgrupo de torsión $TN$ es necesariamente finito. Esto es absurdo.
