Encuentre la coordenada en el primer cuadrante que la línea tangente a $x^3-xy+y^3=0$ tiene pendiente 0

Question

Encuentre la coordenada en el primer cuadrante que la línea tangente a $x^3-xy+y^3=0$ tiene pendiente 0

En primer lugar, hago una diferenciación implícita:

$\frac{3x^2-y}{x-3y^2}=y'$

así que miro el numerador y digo hmmm si pongo (1,3) eso hace que la pendiente sea 0.

Pero luego lo grafico en un software y obtengo la siguiente imagen-

Claramente, este es un punto incorrecto. He comprobado que la ecuación que he escrito es correcta y que he hecho bien la diferenciación implícita

Answer 1

Tenemos que

$$x^3-xy+y^3=0\implies 3x^2dx-dx-xdy+3y^2dy=0 \implies \frac{dy}{dx}=\frac{3x^2-y}{x-3y^2}=0$$

es decir

$$3x^2=y \implies (x,y)=(t,3t^2)$$

$$x^3-xy+y^3=0 \iff t^3-3t^3+27t^6=0\iff t^3(27t^3-2)=0$$

es decir

$$(x,y)=\left(\frac{\sqrt[3]2}{3},\sqrt[3]4\right)$$

Answer 2

Sólo has resuelto la mitad del problema. Tienes que la derivada es $0$ Pero también tienes que usar el hecho de que el punto está en la gráfica de tu línea. Tienes dos ecuaciones con dos incógnitas. Como no son ecuaciones lineales, puedes tener múltiples soluciones.

Sólo tienes que conectar $y=3x^2$ en su ecuación original, y resuelva para $x$