Cohomología del espacio de configuración de una variedad compacta

Question

¿Existe una referencia o un método mediante el cual podamos calcular la cohomología de un espacio de configuración de una variedad compacta simplemente conectada? ¿Es posible encontrar una secuencia espectral que converja a esta cohomología (sino la secuencia espectral de Cohen-Taylor)?

Answer 1

Promoción desvergonzada por delante. Si te interesa la cohomología con campo base $\mathbb{R}$ Entonces:

• Para las variedades simplemente conectadas sin límite se tiene mi papel y un trabajo de Campos y Willwacher . Ambos trabajos dan los llamados "modelos reales" para los espacios de configuración; estos modelos son álgebras graduales diferenciales conmutativas, y en particular la cohomología del modelo es la cohomología del espacio de configuración.
• Para las variedades simplemente conectadas con límite (y los interiores de dichas variedades, es lo mismo), tenemos un documento con Campos, Lambrechts y Willwacher donde también damos un modelo real (varios, de hecho). Si $\dim M \ge 4$ entonces este modelo es bastante explícito, de lo contrario es complicado.

Además todos los modelos que damos están dotados de una acción de grupo simétrica que modela la acción de grupo simétrica natural sobre $\operatorname{Conf}_k(M)$ Así pues, si te interesan los espacios de configuración no ordenados, puedes calcular su cohomología considerando los invariantes.

Answer 2

Me sorprendería mucho que hubiera algo más que la secuencia espectral de Cohen-Taylor que se pueda hacer en esta generalidad.

Como se sabe, la primera página no trivial de la secuencia espectral de Cohen-Taylor depende sólo del anillo $H^\bullet(M)$ . Creo que está escrito en algún sitio que los diferenciales de orden superior están definidos por los productos de Massey en $M$ . En particular, el resultado al que se refiere en un comentario que $H^\bullet(F(M,n))$ (o su gradación asociada) puede calcularse explícitamente a partir de $H^\bullet(M)$ se extiende a las variedades formales arbitrarias $M$ no sólo variedades proyectivas lisas. Y si se da un modelo mínimo de $M$ deberías ser capaz de calcular $H^\bullet(F(M,n))$ para todos $n$ también (pero no un modelo mínimo de $F(M,n)$ -- (véase el artículo de Longoni y Salvatore).