¿Cuál es el razonamiento que subyace a la forma de describir las transformaciones de estiramiento y compresión de funciones?

Question

Si tienes una función en forma de $f(kx)$ el gráfico está escalado horizontalmente por un factor de $k$ y cuanto mayor sea la magnitud de $k$ más se comprime el gráfico, y lo contrario es cierto.

Así que, por definición, $k$ debería llamarse el factor de compresión horizontal de la función, lo que significa que si $k = \frac{1}{2}$ el gráfico se comprime horizontalmente por un factor de $\frac{1}{2}$ y como el estiramiento es la inversa de la compresión, también se puede decir que el gráfico se estira horizontalmente por un factor de $2$ . y utilizando la misma lógica, si $k = 2$ entonces el gráfico se comprime horizontalmente por un factor de $2$ o horizontalmente estirada por un factor de $\frac{1}{2}$

Pero este no es el caso y la práctica aceptada es decir que el gráfico se comprime por un factor de k si |k|>1 y se estira por un factor de k si 0<|k|<1

Esto parece muy poco intuitivo y para mí no utiliza la palabra factor correctamente. Así que mi pregunta es ¿por qué describimos así las transformaciones de estiramiento y compresión?

Answer 1

Tenga en cuenta que por la transformación :

$$f(x)\to f(kx)$$

1. si $|k|>1$ la gráfica de f es comprimido horizontalmente

2. si $0<|k|<1$ la gráfica de f es estirado horizontalmente

De hecho si para la función original $f(1)$ corresponde al punto $x=1$ en la nueva función f(1) corresponden a $x=\frac1k$ por lo que si |k|>1 la función se comprime.

Si k<0, el gráfico también se refleja en el eje y.

Probemos con $sin(kx)$ :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+sin(4x),sin(2x),sinx,sin(x%2F2),sin(x%2F4)

Answer 2

Si tienes una función en forma de $f(kx)$ el gráfico está escalado horizontalmente por un factor de $k$ y cuanto mayor sea la magnitud de $k$ más se comprime el gráfico, y lo contrario es cierto.

Así que la transformación $y=f(x) \to y=f(kx)$ transforma $(x,y) \to \left(\dfrac xk, y \right)$ . Este punto de vista supone que el gráfico se transforma y el $x-$ eje y $y-$ eje permanecen fijos.

También se puede suponer que el gráfico se mantiene fijo y es el $x-$ eje y $y-$ eje que se transforman. En particular, las transformaciones $x'=kx$ y $y'=y$ puede interpretarse como la colocación de la $x'-$ eje y $y'-$ eje sobre el $x,y$ plano y luego graficar $y'=f(x')$ en $(x',y')$ coordenadas. Desde este punto de vista, el escalado es el que usted desea.