Los ideales en $\mathbb{Z}[X]$ con tres generadores (y no con dos)

Question

Es bien sabido que en $\mathbb{Z}[X]$ tenemos ideales no principales, por ejemplo $(2,x)$ . Esto es un ideal con dos generadores. Ahora me preguntaba si existe un ideal con tres generadores, que no pueda ser generado por dos elementos. (Y por supuesto, si es así, si podemos encontrar ideales con $n$ generadores que no pueden ser generados por $n-1$ elementos).

Tengo una sugerencia: $(8, 4x, 2x^2)$ encontrado por ensayo y error.

Mi pregunta es doble:

1. ¿Se trata de un ideal como el descrito anteriormente?
2. ¿Hay una forma más constructiva de pensar en esta cuestión?

Answer 1

Por la forma en que se pone el ejemplo, el ideal $(2^n,2^{n-1}x,2^{n-2}x^2,...,2x^{n-1},x^n)$ es un ideal con $n$ generadores honestos en $\Bbb Z[x]$ porque no podemos generar ninguno de estos generadores utilizando los anteriores.