Cambio de variables a una forma deseable

Question

Supongamos que tenemos una función suave $\varphi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ y que $x_0 \in \mathbb{R}^n$ sea un punto crítico no degenerado. Es decir, $$\begin{equation} \varphi'(x_0) = \nabla \varphi(x_0) = 0, \quad \text{and} \quad \text{det }(\varphi''(x_0)) \neq 0 \end{equation}$$ donde $\varphi ''(x)$ representa la matriz hessiana de segundas derivadas parciales.

Supongamos que $(r,n-r)$ es la firma de $\varphi '' (x_0)$ (esto significa que el número de valores propios positivos y negativos es $r$ y $n - r$ respectivamente).

Actualmente estoy tratando de entender una demostración del Lemma de Morse, en la que se da por sentado que veo el siguiente enunciado como trivial:

Dados los supuestos anteriores, tras una traslación y un cambio lineal de coordenadas, podemos suponer que $x_0 = 0$ y que $$\begin{equation} \varphi(x) = \frac{1}{2}(x^2_1 + \cdots + x_r^2 - x^2_{r + 1} - \cdots - x_n^2) + \mathcal{O}(|x|^3) \quad x \to 0 \end{equation} $$

¿Por qué?

Entiendo que la traducción $y(x) = x - x_0$ me da el resultado de que $y(x_0) = 0$ .

Entonces creo que tengo que aplicar una transformación lineal que involucre de alguna manera al hessiano $\varphi^''(x_0)$ pero necesito diagonalizarlo y reescalarlo, es decir, necesito transformarlo a una base de sus vectores propios que estén escalados por los inversos de los valores propios, de manera que obtenga el $\pm \frac{1}{2}$ - coeficientes.

Entonces creo que necesito usar la expansión de Taylor? Puedo utilizar el hecho de que el gradiente en $x_0$ es cero. Pero entonces todavía necesitaría el valor $\varphi(0)$ en la ecuación anterior $\ldots$ aquí supongo que el texto que estoy utilizando puede tener una errata.

Si pudiera recibir algún comentario sobre si el razonamiento anterior va en la dirección correcta, sería de gran ayuda. Muchas gracias.

Answer 1

Primero consiga $$ \phi(x) - \phi(0) = \sum x_if_i(x) $$ donde las funciones $f_i$ son suaves en las coordenadas y satisfacen $f_i(0) = \partial_i\phi(0)$ .

Desde $\partial_i\phi(0) = 0$ puede ampliar cada uno de los $f_i$ como

$$ f_i(x) = \sum x_ih_{ij}(x)\ . $$

con $h_{ij}(0) = \partial_j f_i(0) = \partial_i\partial_j \phi(0)$ para que $h_{ij}(0)$ define una matriz no degenerada. Establece $g_{ij} = h_{ij}+h_{ji}$ y aplicar una transformación lineal para garantizar $g_{11}(0)$ no es cero. Ahora cambia

$$ \tilde{x}_1 = \sqrt{\pm g_{11}(x)} \left(x_1 +\sum_{k>1}x_k \frac{g_{k1}(x)}{ g_{11}(x)}\right)\, $$ dependiendo del signo de $g_{11}(0)$ .

Mira $\phi(x)-\frac{1}{2}\tilde{x}_1^2$ y ver cómo seguir adelante.

Answer 2

En primer lugar, cambie las coordenadas para que el $\frac{\partial^2 \phi ( x_0)}{\partial x^2}$ es la matriz diagonal con $r$ y $n-r$ menos. Los detalles son bastante tediosos.

Desde $\phi$ es suave, $\frac{\partial^2 \phi ( x_0)}{\partial x^2}$ es simétrica y, por tanto, puede escribirse como $\frac{\partial^2 \phi ( x_0)}{\partial x^2} = U \Lambda U^T$ , donde $\Lambda$ es una matriz diagonal de valores propios reales, y $U$ es una matriz ortonormal de los correspondientes vectores propios. Elija una matriz de permutación adecuada $\Pi$ para que la matriz (todavía diagonal) $\Pi^T \Lambda \Pi$ tiene entradas diagonales $\lambda_1,...,\lambda_n$ , donde $\lambda_1,...,\lambda_r$ son positivos y el resto negativos. Sea $\Sigma$ sea la matriz diagonal con entradas $\frac{1}{\sqrt{|\lambda_1|}},...,\frac{1}{\sqrt{|\lambda_n|}}$ . Debe quedar claro que $J = \Sigma \Pi^T \Lambda \Pi \Sigma$ es una matriz diagonal con la primera $r$ entradas de $+1$ y el resto de entradas $-1$ . Ahora podemos escribir $\frac{\partial^2 \phi ( x_0)}{\partial x^2} = U \Pi \Sigma^{-1} (\Sigma \Pi^T \Lambda \Pi \Sigma) \Sigma^{-1} \Pi^T U^T = U \Pi \Sigma^{-1} J \Sigma^{-1} \Pi^T U^T$ . Ahora dejemos que $\tilde{\phi}(x) = \phi(U \Pi \Sigma x)$ y $\tilde{x_0} = \Sigma^{-1} \Pi^T U^T x_0$ . Una manipulación más tediosa produce $$\frac{\partial^2 \tilde{\phi} ( \tilde{x_0})}{\partial x^2} = \Sigma \Pi^T U^T \frac{\partial^2 \phi ( x_0)}{\partial x^2} U \Pi \Sigma = J$$

Para reducir el desorden notacional posterior, voy a volver a la $\phi, x_0$ notación, y simplemente asumir que $\frac{\partial^2 \phi ( x_0)}{\partial x^2} = J$ (es decir, dejo de lado las tildes).

Ahora se obtiene la representación deseada mediante una expansión de Taylor. Tenemos: $$\phi(x) = \phi(x_0) + \frac{\partial \phi (x_0)}{\partial x} (x-x_0) + \int_0^1 (1-t) (x-x_0)^T \frac{\partial^2 \phi ( x_0+t(x-x_0))}{\partial x^2} (x-x_0) \; dt$$ Ahora utiliza el hecho de que el gradiente es $0$ y sumar y restar el término $\frac{1}{2}(x-x_0)^T \frac{\partial^2 \phi (x_0)}{\partial x^2} (x-x_0)$ para conseguirlo: $$\phi(x) = \phi(x_0) + \frac{1}{2}(x-x_0)^T J (x-x_0) + \int_0^1 (1-t) (x-x_0)^T (\frac{\partial^2 \phi ( x_0+t(x-x_0))}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 \phi (x_0)}{\partial x^2}) (x-x_0) \; dt$$ Como la segunda derivada es suave, es localmente Lipschitz, por lo que podemos acotar localmente la diferencia de las hessianas por $M ||x-x_0||$ para alguna constante $M$ . Entonces el resto de la integral se puede acotar para obtener: $$|\phi(x) - ( \phi(x_0) + \frac{1}{2}(x-x_0)^T J (x-x_0))| \leq \frac{1}{2} M || x-x_o||^3$$ Reescribiendo lo anterior (y utilizando la forma de J anterior) se obtiene: $$\phi(x) - \phi(x_0) = [(x-x_0)]_1^2 + \cdots [(x-x_0)]_r^2 - [(x-x_0)]_{r+1}^2 -\cdots [(x-x_0)]_n^2 + \mathcal{O}(||x-x_0||^3)$$ que era la forma deseada. (Y sí, al original le faltaba un término de $\phi(0)$ .)