¿Aplicando la Ley de los Grandes Números?

Question

$X_k$ , $k \geq 1$ son variables aleatorias iid tales que $$\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{X_n}{n} < \infty$$ con probabilidad 1. Queremos demostrar que $$\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} < \infty$$ con probabilidad 1.

La pista dice que hay que aplicar la ley de los grandes números a la secuencia $\max(X_k,0), k \geq 1$ . SLLN da que $$\frac{\sum_{i=1}^n \max(X_i,0)}{n} \rightarrow \mathbb{E}\max(X,0) = \mathbb{E}(X; X>0)$$ casi seguro. Creo que la idea aquí es que $\limsup X_n/n < \infty$ a.s. implica que $\mathbb{E}(X;X>0)$ pero no estoy muy seguro de cómo enfocar esto...

Answer 1

Empezando por donde te detuviste, asume que $E(X^+)$ es infinito, entonces $\sum\limits_{n=1}^\infty P(X_n\geqslant xn)=\sum\limits_{n=1}^\infty P(X\geqslant xn)$ diverge para cada $x\gt0$ por lo que el lema de Borel-Canteli implica que $X_n\geqslant xn$ para un número infinito de $n$ Casi con toda seguridad, así $\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{X_n}n\geqslant x$ casi con toda seguridad. Esto es válido para cada $x\gt0$ Por lo tanto, has terminado.

Para demostrar que la serie $\sum\limits_{n=1}^\infty P(X\geqslant xn)$ diverge, nótese que para cada $x\gt0$ y toda variable aleatoria $X$ , uno tiene $x\sum\limits_{n=1}^\infty \mathbf 1_{X\geqslant xn}\geqslant X^+$ por lo que es casi seguro que $x\sum\limits_{n=1}^\infty P(X\geqslant xn)\geqslant E(X^+)$ .

Answer 2

Considere $X_k^+ := \max(X_k,0)$ . Entonces, \begin{align*} P\left(\limsup \frac{X_n}{n} < \infty\right)=1 &\Rightarrow P\left(\limsup \frac{X_n^+}{n} < \infty\right)=1 \\ &\Rightarrow \exists A: P\left(\frac{X_n^+}{n} > A \text{ i.o.}\right)=0 \text{ a.s.}\\ &\Rightarrow \sum_{i=1}^n P\left(\frac{X_i^+}{i} > A\right) < \infty \text{ a.s.} \\ &\Rightarrow \sum_{i=1}^n P\left( X^+ > iA \right) < \infty \text{ a.s.} \\ &\Rightarrow \mathbb{E}X^+ < \infty \text{ a.s.} \end{align*} Por la fuerte ley de los grandes números, $$\frac{\sum_{i=1}^n X_i^+}{n} \rightarrow \mathbb{E}X^+ < \infty \text{ a.s.},$$ y así, $$\limsup \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} \leq \frac{\sum_{i=1}^n X_i^+}{n} < \infty \text{ a.s.}$$

Lema. $\limsup_n X_n < \infty$ a.s. si y sólo si $\sum P(X_n > A) < \infty$ para algunos $A$ .

Prueba del lema . Escribimos $Y = \limsup_n X_n$ para simplificar la anotación. Dado que $X_n$ son independientes, los lemas de Borel-Cantelli muestran que \begin{align*} \sum_{n=1}^\infty P(X_n > A) < \infty &\iff P(X_n > A \text{ i.o.}) = 0 \\ \sum_{n=1}^\infty P(X_n > A) = \infty &\iff P(X_n > A \text{ i.o.}) = 1. \end{align*} Para relacionar esto con la finitud de $Y$ , tenga en cuenta que

$\bullet$ Si $a_n > A$ i.o., entonces $\limsup_n a_n \geq A$ .

$\bullet$ Si $\limsup_n a_n \geq A$ entonces para cualquier $\epsilon > 0$ tenemos $a_n \geq A-\epsilon$ i.o.

Esto da lugar a la desigualdad $$P(Y \geq A+\epsilon) \leq P(X_n > A \text{ i.o.}) \leq P(Y \geq A)$$

Esto demuestra que

$\bullet$ Si $P(Y < \infty) = 0$ entonces $P(Y \geq A) < 1$ para alguna constante $A$ . Entonces, $P(X_n > A \text{ i.o.}) < 1$ y por lo tanto, $P(X_n > A \text{ i.o.}) = 0$ .

$\bullet$ Si $P(X_n > A \text{ i.o.}) = 0$ entonces $P(Y \geq A + \epsilon) = 0$ y por lo tanto, $P(Y= \infty) = 0$ también.

Estos datos se combinan para mostrar que $limsup_n X_n < \infty $ a.s. $\iff \sum_n P(X_n > A) < \infty$ para algunos $A$ .