Es $\mathbb R$ con topología contable estrella- $K$ -¿compacto?

Question

1. Un espacio $X$ se dice que es estelarmente compacto si para cada cubierta abierta $\mathcal U$ de $X$ existe un subconjunto finito $\mathcal V\subseteq\mathcal U$ tal que $St(\cup\mathcal V,\mathcal U)=X$ .

2. Un espacio $X$ se dice que es estrella- $K$ -compacto si para cada cubierta abierta $\mathcal U$ de $X$ existe un subconjunto compacto $K$ de $X$ tal que $St(K,\mathcal U)=X$ .

Es inmediato que $\mathbb R$ con topología contable es estelarmente compacto. Pero no sabemos si $\mathbb R$ con topología contable es en estrella- $K$ -compacto. De las definiciones se desprende que toda estrella $K$ -el espacio compacto es estelarmente compacto.

Answer 1

Sí, $\mathbb R$ con la topología cocontable es estrella- $K$ -compacto. Si $\mathcal U$ es una cubierta abierta de $\mathbb R$ entonces, como cualquier conjunto abierto sólo pierde un número contable de puntos, existe un conjunto contable $\mathcal U'\subseteq\mathcal U$ aún cubriendo $\mathbb R$ . Ahora $\mathbb R$ no es la unión contable de conjuntos contables por lo que $\bigcap \mathcal U'\neq\emptyset$ . De ello se deduce que hay un punto $x$ con $\mathbb R=St(\{x\},\mathcal U')=St(\{x\},\mathcal U)$ .