Siguiendo la indicación anterior del profesor Brown quiero añadir otra posible forma de ver la transformación natural que es una generalización de la definición anterior.
Categorías dadas $\mathcal C$ y $\mathcal D$ y dos funtores entre ellos $\mathcal F,\mathcal G \colon \mathcal C \to \mathcal D$ entonces una transformación natural $\tau$ puede definirse como un functor $\tau \colon \mathcal C \to (\mathcal F \downarrow \mathcal G)$ cuyos componentes de flecha son las funciones diagonales, enviando cada flecha $f \in \mathcal C(c,c')$ con $c,c' \in \mathcal C$ a $(f,f) \in (\mathcal F \downarrow \mathcal G)(\tau(c),\tau(c'))$ .
Editar : Creo que la definición de transformación natural propuesta por el profesor Brown probablemente puede ser incluso más natural que la propuesta en la pregunta. Creo que vale la pena dar más detalles.
El ingrediente clave para esa definición es el concepto de categoría de flecha de una categoría determinada $\mathbf D$ : tal categoría tiene un morfismo de $\mathbf D$ como objetos y el cuadrado conmutativo como morfismos.
Esta categoría viene equipada con dos funtores $\mathbf {source}, \mathbf{target} \colon \text{Arr}(\mathbf D) \to \mathbf D$ tal que para cada objeto (es decir, un morfismo de $\mathbf D$ ) $f \colon d \to d'$ tenemos $$\mathbf{source}(f)=d$$ $$\mathbf{target}(f)=d'$$ mientras que para cada $f \in \mathbf D(x,x')$ , $g \in \mathbf D(y,y')$ y un morfismo $\alpha \in \text{Arr}(\mathbf D)(f,g)$ (es decir, un cuádruple $\langle f,g, \alpha_0,\alpha_1\rangle$ donde $\alpha_0 \in \mathbf D(x,y)$ y $\alpha_1 \in \mathbf D(x',y')$ tal que $\alpha_1 \circ f = g \circ \alpha_0$ ) tenemos $$\mathbf{source}(\alpha)=\alpha_0$$ $$\mathbf{target}(\alpha)=\alpha_1$$ es fácil demostrar que estos datos dan dos funtores (que dan a $\text{Arr}(\mathbf D)$ la estructura de un gráfico interno a $\mathbf{Cat}$ ).
Ahora echemos un vistazo a esta nueva definición de transformación natural:
Una transformación natural $\tau$ entre dos funtores $F,G \colon \mathbf C \to \mathbf D$ es un functor $\tau \colon \mathbf C \to \text{Arr}(\mathbf D)$ tal que $\mathbf{source} \circ \tau = F$ y $\mathbf{target}\circ \tau = G$ .
Un functor de este tipo asocia a cada objeto $c \in \mathbf C$ un morfismo $\tau_c \colon F(c) \to G(c)$ en $\mathbf D$ , mientras que a cada $f \in \mathbf C(c,c')$ da el triángulo conmutativo que expresa la igualdad $$\tau_{c'} \circ F(f)=\tau_{c'} \circ \mathbf {source}(\tau_f)=\mathbf {target}(\tau_f) \circ \tau_c = G(f) \circ \tau_c$$ certificando la naturalidad (en el sentido ordinario) del $\tau_c$ . Esta definición recuerda la noción de homotopía entre mapas $f,g \colon X \to Y$ como mapa del tipo $X \to Y^I$ (es decir, una homotopía como familia (continua) de trayectoria de $Y$ ).
Eso no es todo, de hecho podemos reiterar la construcción de la categoría de flechas obteniendo lo que creo que se llama un conjunto cúbico $$\mathbf D \leftarrow \text{Arr}(\mathbf D) \leftarrow \text{Arr}^2(\mathbf D)\leftarrow \dots $$ donde cada flecha debe pensarse como el par de funtores $\mathbf{source}_{n+1},\mathbf{target}_{n+1} \colon \text{Arr}^{n+1}(\mathbf D) \to \text{Arr}^n (\mathbf D)$ .
De esta manera podemos asociar a cada categoría un conjunto cúbico. También hay una forma natural de asociar a cada functor un mapeo (grado 0) de conjuntos cúbicos.
Si consideramos las transformaciones naturales como mapas de una categoría a una categoría de flechas, entonces esta correspondencia asocia a cada transformación natural un mapa de grado 1 entre tales conjuntos cúbicos (por grado uno quiero decir que el mapa inducido envía cada objeto de $\text{Arr}^n(\mathbf C)$ en un objeto de $\text{Arr}^{n+1}(\mathbf D)$ ). He encontrado realmente hermosa esta construcción porque muestra una analogía entre categorías-funcionarios-transformaciones naturales y complejos-mapa de complejos-homoteopías.
