Transformaciones naturales como homotopías categóricas

Question

Todos los libros de texto que he leído sobre la Teoría de Categorías dan la definición de transformación natural como un conjunto de morfismos que hacen conmutar los conocidos diagramas. Hay otra posible definición de transformación natural, que parece ser una categorización de la homotopía:

dados dos funtores $\mathcal F,\mathcal G \colon \mathcal C \to \mathcal D$ una transformación natural es un functor $\varphi \colon \mathcal C \times 2 \to \mathcal D$ , donde $2$ es la categoría de la flecha $0 \to 1$ , de tal manera que $\varphi(-,0)=\mathcal F$ y $\varphi(-,1)=\mathcal G$ .

Mi pregunta es:

¿por qué nadie utiliza esta definición de transformación natural que parece más "natural" (al menos para mí)?

(Edición:) Parece que mucha gente utiliza esta definición de transformación natural. Esto hace que surja la siguiente pregunta:

¿Hay alguna introducción libro de texto (o conferencia) en la teoría de categorías que introduce la transformación natural de esta manera "homotópica" en lugar de la clásica?

(Edit2:) Hace unos días he leído un post en nlab sobre $k$ -transformación para . En particular me ha interesado la discusión en dicho post, porque parece demostrar que la definición homotópica de transformación natural debería ser la correcta (o al menos una ligera modificación de la misma). Por otro lado esta definición siempre me ha parecido la más natural, porque históricamente la teoría de categorías se desarrolla en el contexto de la topología algebraica, así que ahora tengo una nueva pregunta:

¿Alguien conoce el proceso lógico que llevó a Mac Lane y Eilenberg a dar su definición (clásica) de transformación natural?

Aquí me interesa la motivación topológica/algebraica que mueve a esos grandes matemáticos a esa definición y no a la otra.

Answer 1

La definición análoga de homotopía de las transformaciones naturales se conoce y se utiliza regularmente desde al menos finales de los años 60, momento en el que se entendió que el espacio clasificador de categorías (pequeñas) a espacios convierte las transformaciones naturales en homotopías porque toma la categoría $I=2$ al intervalo de la unidad y conserva los productos. Composición de las transformaciones naturales $H\colon A\times I\to B$ y $J\colon B\times I\to C$ es sólo el compuesto obvio que comienza con $id\times \Delta: A\times I \to A\times I\times I$ , al igual que en topología. (Llevo enseñando eso al menos varias décadas, y estoy seguro de que no soy el único).

Answer 2

Una vez que se aprende un tema, se puede pensar en las cosas de la manera más agradable o útil para resolver un problema. Fijar un hecho como definición es pedagogía, algo que ayuda a los que aprenden la materia.

No puedo hablar de cómo aprenden los demás, pero no estoy seguro de reconocer las transformaciones naturales como descritas por funtores $\mathcal{C} \times 2 \to \mathcal{D}$ sería muy útil antes de empezar a pensar seriamente en términos de la 2-categoría de categorías.

Confieso que casi le daría la vuelta a su pregunta: con mucha más frecuencia quiero pensar en una homotopía entre funciones $f,g:X \to Y$ como una función de $X$ a los caminos en $Y$ o a veces como una función de $[0,1]$ a $Y^X$ y siente la definición habitual como una función $X \times [0,1] \to Y$ más como una forma mucho más sencilla de exponer los detalles técnicos. Vi la analogía con la homotopía al principio del aprendizaje de las categorías, y no creo que ver las transformaciones naturales definidas como funtores $\mathcal{C} \times 2 \to \mathcal{D}$ me habría ayudado a hacer la analogía. (Pero, para que conste, no soy un topólogo algebraico)

Answer 3

Descargo de responsabilidad: Esto no es una respuesta a la pregunta, ya que no tengo ninguna explicación de por qué la gente no introduce las transformaciones naturales de la manera explicada en la pregunta, pero lo pongo para ampliar un comentario que hice. El comentario era

esta es la observación inicial para introducir las categorías simpliciales como modelo para $\infty$ --categorías

Además, no soy especialista ni en teoría de categorías ni en teoría de homotopías (y a posteriori de categorías superiores).

El $2$ -categoría de categorías

El punto de partida es que la categoría $Cat$ de categorías es en realidad un $2$ -categoría. Para cualquiera de los objetos (es decir, las categorías) $\mathcal C$ y $\mathcal D$ tenemos que $Hom_{Cat}(\mathcal C,\mathcal D)$ es en sí misma una categoría.

Esto es muy transparente cuando se utiliza la definición $$ Hom_{Cat}(\mathcal C,\mathcal D):=Hom_{t_{\leq0}(Cat)}(\mathcal C\times\Delta^1,\mathcal D)\,, $$ donde $\Delta^1=\Box^1=\mathbb{G}^1$ es la categoría de la flecha $0\to 1$ y $t_{\leq0}(Cat)$ es el subyacente $1$ -categoría de $Cat$ .

Observación: En general se puede ver un $2$ -categoría $\mathcal C$ como una categoría simplicial sustituyendo el $Hom$ -categorías por sus nervios.

En el caso de $Cat$ vemos que el $Hom$ -las categorías aparecen naturalmente como $1$ -truncamientos de conjuntos simpliciales (se puede sustituir aquí "simplicial" por "cúbico" o "globular").

El $3$ -categoría de $2$ -categorías

Pasemos ahora a las transformaciones naturales de (estricto) $2$ -funcionarios entre (estricto) $2$ -categorías. Dados dos de estos $2$ -funcionarios $F,G:\mathcal C\to\mathcal D$ uno puede ver que una transformación natural $F\Rightarrow G$ es lo mismo que un $2$ -funcionarios $$ \phi:\mathcal C\times \mathbb{G}^2\to\mathcal D $$ tal que $\phi(-,0)=F$ y $\phi(-,1)=G$ , donde $\mathbb{G}^2$ es el $2$ -categoría con dos objetos $0$ y $1$ y tal que $Hom_{\mathbb{G}^2}(0,1)$ es la categoría de la flecha $\mathbb{G}^1=(0\to 1)$ .

Por lo tanto, el "conjunto" de $2$ -es naturalmente un $2$ -categoría.

Observación: como antes podemos ver cualquier $3$ -como una categoría simplicial/cúbica/globular sustituyendo el $Hom$ - $2$ -categorías por sus nervios (simpliciales/cúbicos/globulares).

En el caso de $2-Cat$ vemos que el $Hom$ - $2$ -las categorías aparecen naturalmente como $2$ -truncamientos de conjuntos globulares.

Cómplices, cubos y globos

La categoría del globo terráqueo $\mathbb{G}$ la categoría cúbica $\Box$ y la categoría simplicial $\Delta$ son conocidos por ser adecuados forma geométrica para modelar estructuras superiores . Los conjuntos simpliciales son buenos modelos para los conjuntos (débiles) $\infty$ -groupoides. Se ha demostrado ( por Jardine ... con alguna mejora por parte de Cisinski si recuerdo bien) que los conjuntos cúbicos también proporcionan un modelo para la (débil) $\infty$ -groupoides.

No conozco ninguna referencia pero supongo que lo mismo ocurre con los conjuntos globulares (que son bastante más utilizados por la gente que trabaja con autómatas).

El $(n+1)$ -categoría de $n$ -categorías

Permítanme considerar la categoría $n-Cat$ de (estricto) $n$ -categorías. Una transformación natural entre (estricto) $n$ -funcionario $F,G:\mathcal C\to\mathcal D$ puede escribirse como un $n$ -funcionario $$ \phi:\mathcal C\times \mathbb{G}^n\to\mathcal D $$ tal que $\phi(-,0)=F$ y $\phi(-,1)=G$ , donde $\mathbb{G}^n$ es el $n$ -categoría con dos objetos $0$ y $1$ y tal que $Hom_{\mathbb{G}^n}(0,1)$ es el $(n-1)$ -categoría $\mathbb{G}^{n-1}$ .

Por lo tanto, el "conjunto" de $n$ -es naturalmente un (estricto) $n$ -y por lo tanto $n-Cat$ es un (estricto) $n+1$ -categoría. También aparece naturalmente como $n$ -truncamiento de una categoría globular.

La ventaja de trabajar con categorías simpliciales/cúbicas/globulares

Trabajar directamente con categorías simpliciales/cúbicas/globulares tiene las siguientes ventajas:

1. permite trabajar directamente con las categorías superiores sin pasar por un proceso inductivo.
2. permite hacer frente a débil $(\infty,1)$ -como simplicial/cúbica/globular son modelos para las categorías débiles $\infty$ -groupoides (aquí $(\infty,1)$ significa " $\infty$ -categorías tales que $n$ -flechas para $n\geq2$ son débilmente invertibles").

Answer 4

Esta definición "geométrica" es bien conocida por los teóricos de las categorías. Véase, por ejemplo este video de youtube de los Catsters, que presenta las transformaciones naturales. También debería ser conocido por los topólogos algebraicos que trabajan con categorías modelo. Pero tengo que admitir que hay pocas introducciones a la teoría de categorías que hagan hincapié en esta definición de transformación natural.

Obsérvese que esto encaja en un marco más general: Para cada categoría $C$ hay un isomorfismo $[I,C] \cong Arr(C)$ , donde $Arr(C)$ es la categoría de flecha de $C$ . En particular, $Arr([C,D]) \cong [I,[C,D]] \cong [C \times I,D]$ .

En cambio, la definición habitual es más fácil de trabajar. Por ejemplo, ¿cómo se define la composición de dos transformaciones naturales, por ejemplo, las dadas por $\alpha : C \times 2 \to D, \beta : C \times 2 \to D$ con $\alpha(-,1) = \beta(-,0)$ ? Por supuesto, puedes escribirlo explícitamente, pero entonces acabas trabajando con la definición habitual. Pero en lugar de eso, también podrías utilizar $\alpha,\beta$ corresponden a un functor sobre la amalgama $(C \times 2) \cup_C (C \times 2)$ de las inclusiones $(-,1)$ y $(-,0)$ y componer con el functor natural $C \times 2 \to (C \times 2) \cup_C (C \times 2)$ que "deja fuera el punto medio".

Answer 5

Con respecto a

¿Ha introducido alguien alguna vez la transformación natural de esta forma "homotópica" en lugar de la clásica en alguna referencia como un libro de texto o unos apuntes de clase?

Sí, Quillen lo introduce en el papel

Teoría K algebraica superior. I. Teoría K algebraica, I: Higher K-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972), pp. 85-147. Lecture Notes in Math., Vol. 341, Springer, Berlín 1973.

En relación con su "Teorema A" y "Teorema B".