Si $f$ y $g$ son operaciones conmutativas $$\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},$$ entonces para cualquier constante $a,b \in \mathbb{R}$ el sistema de ecuaciones $$f(x,y) = f(a,b), \qquad g(x,y) = g(a,b)$$ debe incluir $(x,y) = (a,b)$ y $(x,y) = (b,a)$ entre sus soluciones.
Conjeturo que si $f$ viene dada por $f(x,y) = xy$ y si $g$ puede expresarse como $g(x,y) = G(x) + G(y)$ para algunos $G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que es continua e inyectiva, entonces el sistema anterior tiene sólo estas soluciones.
El requisito de inyectividad, en particular, está diseñado para bloquear $G(x) = x^2,$ que rompería el teorema si se permitiera, mientras que permite las opciones $G(x) = x^3$ y $G(x) = \mathrm{tan}^{-1}(x),$ que parecen ser consistentes con el teorema (basado en consideraciones gráficas).
He aquí un ejemplo gráfico que ilustra el caso $a = 2, b = 3, G(x) = x^3$ :
Pregunta. ¿Es esto cierto? Si no lo es, ¿cuál sería un contraejemplo? Si es así, ¿cómo podríamos demostrarlo?
