¿Por qué el discriminante de la fórmula cuadrática revela el número de soluciones reales?

Question

¿Por qué el discriminante de la fórmula cuadrática revela el número de soluciones reales de una ecuación cuadrática?

Es decir, tenemos un solución real si $$b^2 -4ac = 0,$$ tenemos dos soluciones reales si $$b^2 -4ac > 0,$$ y tenemos no soluciones reales si $$b^2 -4ac < 0.$$

Answer 1

Las raíces de $ax^2+bx +c = 0$ son $$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Si se hace un gráfico $ax^2+bx +c = y$ , la abcisa del vértice, el punto cuya distancia entre sí y las raíces, los puntos de la parábola que están en la $X$ eje, son iguales, y serán $\frac{-b}{2a}$ y será real mientras $b$ y $a$ son reales. La distancia entre el vértice y una de las raíces será $\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|}$ . Llamémoslo $t_a$ el vértice $v_a$ y una de las raíces $r_a$ , mientras que $point_a$ es la abcisa de $point$ ; $v_a\pm t_a=r_a$ Así que si $v_a$ y $t_a$ es real, $r_a$ también debería ser real. Sabemos que $v_a$ es real siempre que los coeficientes sean reales. Así que $t_a$ debe ser real también, si queremos $r_a$ para ser real. Para $t_a$ para ser real, la condición es, $b^2-4ac$ no debería ser negativo.

El signo más-menos en $v_a\pm t_a=r_a$ crea dos $r_a$ si $t_a$ es distinto de cero. Si $t_a$ es cero, sólo hay un $r_a$ sólo una raíz. Si $t_a$ es distinto de cero y $b^2-4ac$ no es negativo, hay dos raíces.

Answer 2

No voy a poner más fórmulas aquí, sólo intento explicarte la cuestión del "por qué":

Toda ecuación cuadrática puede transformarse en un formato más simplificado:

• X^2=A

Esto da tres posibilidades:

1. A>0
2. A=0
3. A<0

Cada uno de ellos es equivalente con una cierta cantidad de soluciones reales:

1. Dos soluciones
2. Una solución
3. No

El valor A coincide con el discriminante.

Answer 3

Me gusta pensar en ello de esta manera. El eje de simetría de la parábola es

-b/2a

Esto no es casualmente parte de la fórmula cuadrática. El resto de la fórmula indica los valores de las raíces a ambos lados del eje. Esto también contiene, no por casualidad, el determinante

 ±√(b^2-4ac)/2a  --> √(b^2-4ac)

Así, se tiene una fórmula que describe a qué distancia de cada lado del eje se encuentran las raíces de la parábola. ¿Cómo funciona esta fórmula? La característica principal es una raíz cuadrada que se define en el dominio

D:{x|x∈ℝ && x≥0)

Y dentro de ese dominio tenemos la característica de que para x=0, hay un valor √0=0 PERO para cualquier número x>0 hay dos valores por ejemplo √4 = +2 y -2.

Así que, ahora que hemos cubierto toda la información de fondo, la respuesta a su problema es bastante simple. Hay tres tipos de respuestas del determinante porque hay tres porciones de ℝ en el dominio que producen diferentes resultados.

 x<0  --> No real solution
 x=0  --> Exactly one solution
 x>0  --> Two solutions, positive and negatives integers of the same absolute value

En el determinante podemos determinar fácilmente cuál de los tres casos tenemos. En la fórmula cuadrática completa terminamos con

No real root on either side of the axis of symmetry
One real root on the apex of the parabola and on the axis of symmetry
Two real roots equidistance on either side of the axis of symmetry

Gráfico que muestra los tres casos

Answer 4

Digamos que tu ecuación cuadrática es $$ ax^2 + bx +c = 0 $$ y supongamos que $a>0$ para que podamos imaginar $p(x) = ax^2 + bx +c$ para ser una parábola que está abierta en la parte superior. Llamemos $m$ el valor mínimo de $p(x)$ . Gráficamente es sólo el punto más bajo de la parábola.

Si ahora dibujas algunos ejemplos de parábolas, te darás cuenta de que, dependiendo del signo de $m$ la parábola cortará, tocará o no tocará nunca la línea horizontal ( $x$ -eje). Dependiendo de la situación, se puede ver cuántas raíces hay: \begin{align*} &\text{if} m>0 \text{we don't touch the line $\longrightarrow$ no roots} \\ &\text{if} m = 0 \text{we touch the line in one point $\longrightarrow$ one root} \\ &\text{if} m < 0 \text{we cross the line $\longrightarrow$ two roots} \end{align*}
Para encontrar el $x$ coordenadas de nuestro mínimo $m$ podemos utilizar la derivada, ya que tiene que ser $0$ allí. $$ 0 = p'(x) = 2ax + b ~\Longleftrightarrow ~ x = -\frac{b}{2a} $$ por lo que obtenemos $$ m = p \left( -\frac{b}{2a} \right) = a \frac{b^2}{4a^2} - b\frac{b}{2a} +c = \frac{-b^2 + 4ac}{4a} $$ Como sólo nos interesa el signo de $m$ y como $a>0$ El signo de $m$ será el mismo que el signo de $-b^2 +4ac$ . Si combinamos esto con la observación anterior, tenemos \begin{align*} &\text{if} ~4ac - b^2 >0~ \text{we don't touch the line $\longrightarrow$ no roots} \\ &\text{if} ~4ac - b^2 = 0~ \text{we touch the line in one point $\longrightarrow$ one root} \\ &\text{if} ~4ac - b^2 < 0~ \text{we cross the line $\longrightarrow$ two roots} \end{align*}

Answer 5

Tal vez el cálculo sea aún más obvio cuando se evitan las fracciones.

Multiplica la ecuación $ax^2+bx+c=0$ por $4a$ (nota que $a\neq0$ ) y observar $$ax^2+bx+c=0 \quad \Leftrightarrow \quad 4a^2x^2+4abx+4ac=0 \quad \Leftrightarrow \quad (2ax+b)^2=b^2-4ac.$$ Observando la última ecuación, es evidente que el número de soluciones depende del signo de $b^2-4ac$ . En mi opinión, también es fácil ver que si $b^2-4ac>0$ podemos seguir adelante para obtener las soluciones conocidas: $$2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}\quad \Leftrightarrow \quad x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$