Piénsalo geométricamente $-$ entonces calcula.
Todo el mundo sabe $x^2$ describe una parábola con su vértice en $(0,0)$ . Añadiendo un parámetro $\alpha$ podemos mover la parábola hacia arriba y hacia abajo: $x^2+\alpha$ tiene su vértice en $(0,\alpha)$ . Observando el gráfico mientras se mueve hacia arriba y hacia abajo se ve inmediatamente cómo el número de ceros depende de $\alpha$ :
- para $\alpha>0$ no tenemos ceros.
- para $\alpha=0$ tenemos un solo cero.
- para $\alpha<0$ tenemos dos ceros.
Ahora podemos introducir un segundo parámetro $\beta$ para mover la parábola a la izquierda y a la derecha: $(x-\beta)^2+\alpha$ tiene su vértice en $(\beta,\alpha)$ .
Nota : utilizamos el hecho de que dada una función $f(x)$ la gráfica de la función $f(x-\beta)$ es exactamente igual a la de $f$ pero desplazado a la derecha por una cantidad $\beta$ .
Pero, por supuesto, desplazar una función a la izquierda y a la derecha no altera la cantidad de ceros. Así que sigue dependiendo sólo de $\alpha$ . Ampliamos un poco el término:
$$(x-\beta)^2+\alpha=x^2-2\beta x+\beta^2+\alpha.$$
Si tu ecuación cuadrática se diera en esta forma, verías inmediatamente la cantidad de ceros como se describe arriba. Desgraciadamente, la mayoría de las veces se da como
$$ x^2+\color{red}px+\color{blue}q=0$$
Así que, en su lugar, hay que mirar qué partes de la $\alpha$ - $\beta$ -forma anterior corresponde a estos nuevos parámetros $p$ y $q$ :
$$ x^2\color{red}{-2\beta} x+\color{blue}{\beta^2+\alpha} = 0.$$
Así que tenemos $p=-2\beta$ y $q=\beta^2+\alpha$ . Si sólo pudiéramos extraer $\alpha$ de estos nuevos parámetros, veríamos inmediatamente la cantidad de ceros. Pero ¡espera! ¡Sí que podemos!
$$\alpha=q-\beta^2=q-\left(\frac p2\right)^2.$$
Esto es exactamente lo que se conoce como (el negativo de) el discriminante .
He utilizado el formulario $x^2+px+q=0$ y usaste $ax^2+bx+c=0$ . Espero que esto no te confunda. Sólo hay que dividir por $a$ (si $a$ es distinto de cero):
$$x^2+ \color{red}{\frac ba}x+\color{blue}{\frac ca}=0$$
Si se fija $p=b/a$ y $q=c/a$ y enchufar esto en mi discriminante de arriba se obtiene el que se conoce:
$$\left( \frac {\color{red}p}2 \right )^2-\color{blue}q = \frac{(\color{red}{b/a})^2}4-\color{blue}{\frac ca}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2} = \frac{b^2-4ac}{4a^2}.$$
Porque $4a^2$ es siempre positivo basta con mirar $b^2-4ac$ como lo hizo en su pregunta.