¿Por qué el discriminante de la fórmula cuadrática revela el número de soluciones reales de una ecuación cuadrática?
Es decir, tenemos un solución real si $$b^2 -4ac = 0,$$ tenemos dos soluciones reales si $$b^2 -4ac > 0,$$ y tenemos no soluciones reales si $$b^2 -4ac < 0.$$
Piénsalo geométricamente $-$ entonces calcula.
Todo el mundo sabe $x^2$ describe una parábola con su vértice en $(0,0)$ . Añadiendo un parámetro $\alpha$ podemos mover la parábola hacia arriba y hacia abajo: $x^2+\alpha$ tiene su vértice en $(0,\alpha)$ . Observando el gráfico mientras se mueve hacia arriba y hacia abajo se ve inmediatamente cómo el número de ceros depende de $\alpha$ :
Ahora podemos introducir un segundo parámetro $\beta$ para mover la parábola a la izquierda y a la derecha: $(x-\beta)^2+\alpha$ tiene su vértice en $(\beta,\alpha)$ .
Nota : utilizamos el hecho de que dada una función $f(x)$ la gráfica de la función $f(x-\beta)$ es exactamente igual a la de $f$ pero desplazado a la derecha por una cantidad $\beta$ .
Pero, por supuesto, desplazar una función a la izquierda y a la derecha no altera la cantidad de ceros. Así que sigue dependiendo sólo de $\alpha$ . Ampliamos un poco el término:
$$(x-\beta)^2+\alpha=x^2-2\beta x+\beta^2+\alpha.$$
Si tu ecuación cuadrática se diera en esta forma, verías inmediatamente la cantidad de ceros como se describe arriba. Desgraciadamente, la mayoría de las veces se da como
$$ x^2+\color{red}px+\color{blue}q=0$$
Así que, en su lugar, hay que mirar qué partes de la $\alpha$ - $\beta$ -forma anterior corresponde a estos nuevos parámetros $p$ y $q$ :
$$ x^2\color{red}{-2\beta} x+\color{blue}{\beta^2+\alpha} = 0.$$
Así que tenemos $p=-2\beta$ y $q=\beta^2+\alpha$ . Si sólo pudiéramos extraer $\alpha$ de estos nuevos parámetros, veríamos inmediatamente la cantidad de ceros. Pero ¡espera! ¡Sí que podemos!
$$\alpha=q-\beta^2=q-\left(\frac p2\right)^2.$$
Esto es exactamente lo que se conoce como (el negativo de) el discriminante .
He utilizado el formulario $x^2+px+q=0$ y usaste $ax^2+bx+c=0$ . Espero que esto no te confunda. Sólo hay que dividir por $a$ (si $a$ es distinto de cero):
$$x^2+ \color{red}{\frac ba}x+\color{blue}{\frac ca}=0$$
Si se fija $p=b/a$ y $q=c/a$ y enchufar esto en mi discriminante de arriba se obtiene el que se conoce:
$$\left( \frac {\color{red}p}2 \right )^2-\color{blue}q = \frac{(\color{red}{b/a})^2}4-\color{blue}{\frac ca}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2} = \frac{b^2-4ac}{4a^2}.$$
Porque $4a^2$ es siempre positivo basta con mirar $b^2-4ac$ como lo hizo en su pregunta.
Porque para $a\neq0$ obtenemos: $$ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right).$$ Ahora, vemos que si $b^2-4ac<0$ entonces $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}>0$ ,
que dice que la ecuación $ax^2+bx+c=0$ no tiene soluciones.
Para $b^2-4ac=0$ tenemos una sola raíz: $$x_1=-\frac{b}{2a}$$ y para $\Delta=b^2-4ac>0$ nuestra ecuación tiene dos raíces distintas: $$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ y $$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ porque en este caso obtenemos $$ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)=$$ $$=a\left(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=$$ $$=a\left(x-\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=a(x-x_1)(x-x_2).$$
Otras respuestas hacen cálculos y probablemente es lo que has pedido, pero la respuesta a "¿por qué?" puede ser más profunda, más sutil que eso. El discriminante revela el número de soluciones reales porque:
Descubrimos (derivamos) la fórmula más sencilla de este tipo y dijimos: "Es tan útil que merece un nombre, que sea discriminante .' En este punto no importa cuál es la fórmula en términos de $a$ , $b$ y $c$ . Quiero decir, si fuera algo diferente a $b^2-4ac$ entonces esta otra función se llamaría "discriminante" en primer lugar.
He comprobado Wikipedia y lo primero que vi fue:
En álgebra, el discriminante de un polinomio es una función polinómica de sus coeficientes, que permite deducir algunas propiedades de las raíces sin calcularlas. [ ] para un polinomio de un grado arbitrario, el discriminante es cero si y sólo si tiene una raíz múltiple, y, en el caso de los coeficientes reales, es positivo si y sólo si el número de raíces no reales es un múltiplo de 4.
Tengan en cuenta algunas cosas:
En este contexto, si la pregunta fuera "¿por qué el valor de $b^2-4ac$ revelar el número de soluciones reales", entonces algunos cálculos sencillos serían la respuesta completa. Pero la pregunta es "¿por qué el discriminante revelar ?", así que la respuesta más profunda es:
Porque queríamos que revelara esto en primer lugar. Hemos definido deliberadamente el discriminante para que tenga esta propiedad.
Si la cuadrática $ax^2 + bx + c$ tiene raíces $\alpha$ y $\beta$ se factoriza como $a(x-\alpha)(x-\beta)$ . Así que tenemos que en términos de las raíces, podemos escribir los coeficientes como $b = -a(\alpha + \beta)$ y $c = a \alpha \beta$ . Entonces,
$$ \begin{aligned} \Delta = b^2 - 4ac &= a^2(\alpha^2 + 2 \alpha \beta + \beta^2) - 4a^2\alpha\beta\\ &= a^2(\alpha^2 - 2 \alpha \beta + \beta^2)\\ &= a^2(\alpha - \beta)^2 \end{aligned}$$
Así que inmediatamente tenemos que $\Delta = 0$ exactamente cuando $\alpha = \beta$ . También podemos ver que si $\alpha$ y $\beta$ son reales, entonces $\Delta \geq 0$ y si $\Delta < 0$ entonces $\alpha - \beta$ no puede ser un número real.
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