Convolución con Gaussiana

Question

Dejemos que $f, g\in \mathcal{S}(\mathbb R)$ (función de la clase Schwartz), $\delta_0$ ( distribución delta de dirac ).

Considere la distribución de la siguiente manera: $$G(x, y)= f(x)g(x)\delta_0(y)-f(y)g(y)\delta_0(x), \ (x, y\in \mathbb R)$$

Dejemos que $h(x,y)= e^{-(x^2+y^2)}.$

Mi pregunta es:

¿Podemos esperar que $G\ast h \in L^{1}(\mathbb R^2)$ ?

donde $\ast$ denota la convolución.

Answer 1

Puedes hacer el cálculo explícito: $$(G\ast h)(x,y)=\int\int G(u,v)h(x-u,y-v)dudv$$ $$=\int\int f(u)g(u)\delta(v)h(x-u,y-v)dudv- \int\int f(v)g(v)\delta(u)h(x-u,y-v)dudv$$ $$=\int f(u)g(u)h(x-u,y)du-\int f(v)g(v)h(x,y-v)dv=\gamma(y)((fg)\ast\gamma)(x)- \gamma(x)((fg)\ast\gamma)(y)$$ donde $\gamma(z)=e^{-z^2}$ que está en $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ . Este último es estable por producto y convolución. Además, el producto de una función de Schwartz en $x$ y una función de Schwartz en $y$ está en $\mathcal{S}(\mathbb{R}^2)$ . Así que el resultado no es sólo en $L^1(\mathbb{R}^2)$ pero de hecho en $\mathcal{S}(\mathbb{R}^2)$ .