¿Son los espectros realmente lo mismo que las teorías de cohomología?

Question

Dejemos que $E \to F$ sea un morfismo de las teorías de cohomología definidas en complejos CW finitos. Entonces, por la representabilidad de Brown, $E, F$ están representados por espectros, y el mapa $E \to F$ proviene de un mapa de espectros. Sin embargo, es posible que el mapa sobre las teorías de cohomología sea nulo mientras que el mapa de espectros no sea nulo. En otras palabras, la categoría de homotopía de los espectros no se imbrica fielmente en la categoría de las teorías de cohomología sobre complejos CW finitos. Esto se debe a la existencia de mapas fantasma:

Dejemos que $f: X \to Y$ sea un mapa de espectros. Es posible que $f$ no es nulo-homotópico aunque para todo espectro finito $F$ y el mapa $F \to X$ el compuesto $F \to X \stackrel{f}{\to} Y$ es nulo-homotópico. Estos mapas se denominan mapas fantasma. Para un ejemplo explícito, dejemos que $S^0_{\mathbb{Q}} = H\mathbb{Q}$ sea la esfera racional. Esta se obtiene como un colímite filtrado (homotópico) de copias de $S^0$ y la multiplicación por $m$ mapas. El teorema del coeficiente universal muestra que hay mapas no triviales $S^0_{\mathbb{Q}} \to H \mathbb{Z}[1]$ pero, de hecho, están parametrizados por $\mathrm{Ext}^1(\mathbb{Q}, \mathbb{Z}) \neq 0$ . Sin embargo, estos restringen a cero en cualquiera de los términos del colímite filtrado (cada uno de los cuales es una copia de $S^0$ ).

En otras palabras, la distinción entre módulos planos y proyectivos es en cierto sentido un análogo algebraico de la existencia de mapas fantasma. Dado un módulo plano no proyectivo $M$ sobre algún anillo $R$ entonces hay un mapa no trivial en la categoría derivada $M \to N[1]$ para algún módulo $N$ . Ahora $M$ es un colímite filtrado de proyectivos finitamente generados -- teorema de Lazard -- y el mapa $M \to N[1]$ es "fantasma" en el sentido de que se restringe a cero en cada uno de estos proyectivos finitamente generados (o más generalmente para cualquier objeto compacto que mapee a $M$ ). Por lo tanto, no debería sorprender demasiado que existan mapas fantasma de los espectros y que sean interesantes.

Ahora los espectros son análogos a la categoría derivada de $R$ -módulos, pero los espectros también vienen con otra adición: $$ \Sigma^\infty, \Omega^\infty: \mathcal{S}_* \leftrightarrows \mathcal{Sp}$$ entre los espacios puntuales y los espectros. Por tanto, vienen con otra clase distinguida de objetos, los espectros de suspensión. (Pregunta al azar: ¿cuál es el análogo de un espectro de suspensión en álgebra?)

Definición: Un mapa de espectros $X \to Y$ es hyperphantom si para cualquier espectro de suspensión $T$ (interpretemos esto de forma laxa para incluir las desuspensiones de los espectros de suspensión), $T \to X \to Y$ es nulo-homotópico.

En otras palabras, un mapa de espectros es hiperfantástico si la transformación natural inducida en las teorías de cohomología de los espacios (¡no necesariamente de CW finito!) es cero.

¿Es cierto que un mapa hiperfantástico es nulo-homotópico? Rudyak lo enumera como un problema abierto en "On Thom spectra, orientability, and cobordism". ¿Cuál es el estado de este problema?

Answer 1

Consideremos el complejo periódico $K$ -espectro teórico $KU$ . El grupo de homología integral $H_i(KU)$ el límite directo de

$$\dots \to H_{2n+i}(BU)\to H_{2n+2+i}(BU)\to\dots,$$ es un espacio vectorial racional unidimensional si $i$ es par y trivial si $i$ es impar. De ello se desprende que $H^1(KU)$ no es trivial. (Es $Ext(\mathbb Q,\mathbb Z)$ .) Pero esto no se puede detectar en la cohomología de los espectros de suspensión, porque $H^{2n+1}(BU)$ es trivial.

Este es un ejemplo de mapa "hiperfantástico" de $KU$ al espectro de Eilenberg-MacLane $\Sigma H\mathbb Z$ .

Answer 2

La respuesta a esta pregunta está en LMS (I.6.9 de http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/equi.pdf ) y en la contribución de McClure al BMMS (VII \S1 de http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/h_infty.pdf ), que ofrece todos los detalles. Dejemos que $T = \{T_i\}$ sea un preespectro. Hay una construcción de cilindros $ZT$ que da un equivalente débil $\Omega$ -(primero definí en 1968). http://www.math.uchicago.edu/~may/PAPERS/7.pdf ).
Es el telescopio de las desuspensiones $\Sigma^{-i} \Sigma^{\infty} T_i$ . No hay pérdida de generalidad al tomar $X=ZT$ en su pregunta. Hay resultados a $lim^{1}$ secuencia exacta de la forma

$$ 0 \to lim^{1}[\Sigma^{1-i} \Sigma^{\infty} T_i,Y] \to [X,Y] \to \lim[\Sigma^{-i} \Sigma^{\infty} T_i,Y]\to 0.$$

Esto no tiene nada que ver con los espectros CW finitos, a priori, y se puede ver a través de las adjunciones habituales como una medida precisa de la diferencia entre la categoría de homotopía estable de los espectros y la categoría de homotopía de los espacios basados. McClure (VII\S4 op cit) da un criterio claro para cuando la $lim^{1}$ término desaparece y ejemplos en los que el criterio se mantiene. Evidentemente, no es de esperar que el $lim^{1}$ desaparece en general. Una forma de construir contraejemplos es relacionar este $lim^{1}$ secuencia exacta con la dada por aproximación $X$ por un espectro CW, pero lo dejaré al lector interesado. Por supuesto, los elementos de este $lim^{1}$ término son sus mapas hiperfantásticos.

Añadido como edición: En respuesta al comentario de Tom Goodwillie, las adunciones a las que me refería dan que si $Y$ es un $\Omega$ -espectro con $i$ el espacio $Y_i$ entonces $$[\Sigma^{-i} \Sigma^{\infty} T_i,Y] \cong [T_i,Y_i]. $$ Los paréntesis se refieren a los espectros de la izquierda y a los espacios de base de la derecha. Por lo tanto, el original $lim^{1}$ La secuencia exacta se puede reescribir como $$ 0 \to lim^{1}[T_i,Y_{i-1}] \to [X,Y] \to \lim[T_i,Y_i]\to 0.$$ El $lim$ y $lim^1$ se calculan en términos de homotopía clases de mapas de espacios basados. Eso es lo que tenía en mente con mi descuidada afirmación sobre la comparación de categorías de homotopía. En realidad se trata de una comparación entre la categoría de homotopía estable y la categoría de teorías de cohomología sobre espacios basados, respondiendo a la pregunta original.

Que todo el mundo se divierta: es Nochevieja (con un nuevo significado para la cuenta atrás de la medianoche).