Integración con constante exponencial

Question

¿Cómo puedo encontrar $$\int_0^\infty \frac{2\left(e^{-t^2} -e^{-t}\right)}{t}\ dt$$

Me han dicho que la respuesta es $\gamma$ la constante de Euler-Mascheroni, pero no entienden cómo se deriva.

Answer 1

A técnica relacionada . Consideremos la integral más general (véase la transformada de Mellin)

$$ I = 2 \int_{0}^{\infty} t^{s-1} (e^{-t^2}-e^{-t})\,dt = \Gamma(s/2)-2\,\Gamma(s). $$

Ahora, toma el límite como $s\to 0$ que le da el resultado deseado.

Nota:

1) Para evaluar la integral anterior se puede utilizar la función gamma.

2) Para hallar el límite, utiliza la serie

$$ \Gamma(z) = \frac1z-\gamma+\frac16\left(3\gamma^2+\frac {\pi^2}2\right)z+O(z^2). $$

Answer 2

$\newcommand{\+}{^{\dagger}} \newcommand{\angles}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \atop {= \atop \vphantom{\huge A}}}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert}$ \begin{align} &\color{#00f}{\int_{0}^{\infty}{2\pars{\expo{-t^{2}} -\expo{-t}}\over t}\,\dd t} =-2\int_{0}^{\infty}\ln\pars{t} \bracks{\expo{-t^{2}}\pars{-2t} - \expo{-t}\pars{-1}}\,\dd t \\[3mm]&=2\lim_{\mu \to 0^{+}}\partiald{}{\mu}\int_{0}^{\infty} \pars{2t^{\mu + 1}\expo{-t^{2}} - t^{\mu}\expo{-t}}\,\dd t =2\lim_{\mu \to 0^{+}}\partiald{}{\mu}\int_{0}^{\infty} \pars{t^{\mu/2}\expo{-t} - t^{\mu}\expo{-t}}\,\dd t \\[3mm]&=2\lim_{\mu \to 0^{+}}\partiald{}{\mu} \bracks{\Gamma\pars{{\mu \over 2} + 1} - \Gamma\pars{\mu + 1}} =2\lim_{\mu \to 0^{+}} \bracks{\half\,\Gamma'\pars{{\mu \over 2} + 1} - \Gamma'\pars{\mu + 1}} \\[3mm]&=-\Gamma'\pars{1}=-\Gamma\pars{1}\Psi\pars{1} = \color{#00f}{\Large\gamma} \end{align}

$\ds{\Gamma\pars{z}}$ y $\ds{\Psi\pars{z} \equiv \totald{\ln\pars{\Gamma\pars{z}}}{z}}$ son los Gamma y Digamma funciones, respectivamente.

Utilizamos los resultados conocidos $\ds{\Gamma\pars{z} = \int_{0}^{\infty}t^{z - 1}\expo{-t}\,\dd t}$ $\ds{\pars{~\mbox{with}\ \Re\pars{z} > 1~}}$ , $\ds{\Gamma\pars{1} = 1}$ y $\ds{\Psi\pars{1} = - \gamma}$ donde $\ds{\gamma}$ es el Constante de Euler-Mascheroni .

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