Integral indefinida $\int\frac{e^x}{x(1+\log(x))}dx$

Question

Cómo integrar esta integral

$$\int\frac{e^x}{x(1+\log(x))}dx$$

Mi intento: Intento algunas subtituciones, $e^x=u$$ \espacio de 0,2 cm. $ and $ \espacio de 0,2 cm. $$1+\log(x)=u$ pero no son útiles. Por favor, ayúdenme a resolver esto.

Answer 1

Dejemos que $u=\log x$ ,

Entonces $x=e^u$

$dx=e^u~du$

$\therefore\int\dfrac{e^x}{x(1+\log x)}dx=\int\dfrac{e^{e^u}}{1+u}du$

Dejemos que $v=\log(1+u)$ ,

Entonces $u=e^v-1$

$du=e^v~dv$

$\therefore\int\dfrac{e^{e^u}}{1+u}du$

$=\int e^{e^{e^v-1}}~dv$

$=\int\left(1+\sum\limits_{m=1}^\infty\dfrac{e^{me^v-m}}{m!}\right)dv$

$=\int\left(1+\sum\limits_{m=1}^\infty\dfrac{e^{-m}}{m!}+\sum\limits_{m=1}^\infty\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{m^ne^{-m}e^{nv}}{m!n!}\right)dv$

$=\int\left(\sum\limits_{m=0}^\infty\dfrac{e^{-m}}{m!}+\sum\limits_{m=1}^\infty\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{m^ne^{-m}e^{nv}}{m!n!}\right)dv$

$=\sum\limits_{m=0}^\infty\dfrac{e^{-m}v}{m!}+\sum\limits_{m=1}^\infty\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{m^ne^{-m}e^{nv}}{m!n!n}+C$

$=\sum\limits_{m=0}^\infty\dfrac{e^{-m}\log(1+\log x)}{m!}+\sum\limits_{m=1}^\infty\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{m^ne^{-m}(1+\log x)^n}{m!n!n}+C$