¿Existen realmente la incertidumbre posición-momento y la incertidumbre tiempo-energía en la QFT?

Question

Es bien sabido por la Mecánica Cuántica (QM) que para una partícula existe una relación de incertidumbre posición-momento: $$\Delta x\cdot \Delta p\geq \frac{1}{2}\hbar,$$ que básicamente puede derivarse de la relación conmutativa de $\hat x$ y $\hat p$ $$[\hat x,\hat p]=i\hbar.$$ También existe una relación de incertidumbre tiempo-energía que es un poco sutil. Pero se puede entender bien imaginando a T como un operador, donde debemos introducir un parámetro de la línea del mundo de la partícula.

Ahora viene el siempre muy confuso concepto de relaciones de incertidumbre posición-momento o tiempo-energía en la QFT, especialmente en el vacío. En la QFT sólo tenemos las relaciones conmutativas: $$[\hat\phi(\vec x,t),\hat\pi(\vec x',t)]=i\hbar\delta(\vec x-\vec x').$$ Siguiendo el proceso estándar sólo podemos obtener la relación de incertidumbre sobre $\hat\phi(\vec x,t)$ y $\hat\pi(\vec x,t)$ . ¡No hay incertidumbre de espacio-momento o incertidumbre de tiempo-energía en absoluto ya que ahora el espacio-tiempo son simplemente parámetros! El tiempo y el espacio ni siquiera tienen significados físicos explícitos como observables en la QFT, especialmente en el vacío. De hecho, el vacío es un estado estacionario al igual que el estado básico del oscilador armónico en QM, que no tiene ninguna fluctuación de energía.

La gente siempre da por sentado que la incertidumbre posición-momento o tiempo-energía sigue existiendo en la QFT. Véase mi otra pregunta . A la gente siempre le gusta decir cosas como que hay una longitud mínima porque a una escala cada vez más pequeña hay una incertidumbre de energía cada vez mayor que acabará creando un agujero negro. Nótese que en esta afirmación, la gente siempre se refiere al vacío, es decir, no hay ninguna partícula. Estas relaciones también son utilizadas por muchos otros autores sin ninguna duda, por ejemplo, véase también A.D. Linde donde escribió:

Tenga en cuenta que el valor de $V(\phi)$ en $t\sim t_p\sim M^{-1}_p$ puede medirse con una precisión $\sim M^{4}_p$ sólo por el principio de incertidumbre.

¿Alguien conoce una derivación de la relación de incertidumbre tiempo-energía (o relación posición-momento) en la QFT relativista?

Answer 1

Tienes razón en que abordado formalmente QFT no tiene observables de posición y tiempo, son parámetros de fondo como el tiempo en QM, lo que parece ir en contra del uso de partículas localizadas. Como Baker escribe :" Las formas rigurosas de la teoría de la interacción no pueden sostener una interpretación de los "cuantos" en la que las entidades fundamentales son contables. E incluso la teoría libre es probadamente incapaz de describir partículas localizadas en o alrededor de puntos... sucede que en la QM no relativista, uno de los observables ( $\widehat{Q}$ ) responde a la descripción intuitiva de un operador de posición de partículas. Así, para cualquier estado (de una partícula) $ψ$ el producto interior $(ψ,\widehat{Q}ψ)$ puede interpretarse como el valor esperado de la posición de la partícula. El camino está abierto para una interpretación de partículas de la QM. Como ha demostrado Malament [1996], no existe tal operador de posición en la QFT. Esta puede ser la señal más convincente de que una interpretación de partículas de la teoría no puede tener éxito ".

Sin embargo, el tiempo no es un observable ya en QM, y el la incertidumbre tiempo-energía no es una relación de incertidumbre canónica allí, algo similar puede valer para la incertidumbre de posición-momento en la QFT. Además, las formas rigurosas de la QFT sólo se conocen para los modelos de juguete, y la QFT realista sólo es perturbativa. Sin saber cuál es la teoría no perturbativa no podemos saber con seguridad qué interpretación apoyará o no.

La teoría perturbadora utiliza diagramas de Feynman en los cálculos, y puede interpretarse heurísticamente en términos de partículas. Cualquiera que sea la teoría definitiva tendrá que reproducir esta fenomenología al menos de forma efectiva en algún límite. Wallace da una interesante exposición de las cuestiones interpretativas de la QFT perturbativa, incluida la paradoja de las partículas:" La fenomenología de la física de partículas... hace un amplio uso del concepto de localización: es decir, del concepto de que los sistemas físicos tienen al menos algunos estados que se localizan en regiones espaciales finitas. Hay una serie de resultados en AQFT que aparentemente descartan la posibilidad de tales estados, y esto se describe a veces como una paradoja en QFT... se argumentará que no hay nada paradójico... La localización entra en este marco como un criterio pragmático de aislamiento ". Por lo tanto, la relación de incertidumbre posición-momento puede ser una heurística pragmática en la QFT, aunque carezca de estatus fundamental.