Productos cartesianos básicos

Question

Tengo algunos problemas para comprender las ideas básicas de los productos cartesianos.

Estoy leyendo un PDF que nos dio mi profesor para explicar los conjuntos/productos cartesianos.

Si $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ puede escribirse como $\mathbb{R}^2$ entonces $S^5$ se escriba $S \times S \times S \times S \times S$ ?

otra cuestión que nos pide es describir los términos en la expresión de $(x+1)^5$ y siguiendo mi línea de pensamiento sobre lo que $S^5$ es, terminé haciendo $(x+1) (x+1) (x+1) (x+1)$ y multiplicarlos y tomar ese producto poniéndolo en una tabla con los restantes $(x+1)$ para obtener los elementos de $(x+1)^5$

No hay libro de texto para esta clase y hemos tenido 2 días de nieve esta semana, así que no he podido hacer ninguna pregunta en clase (además toda la lectura que estoy haciendo online me está confundiendo más)

así que si me pueden decir si estoy en el camino correcto o mostrarme donde mi "lógica" está desordenada se los agradecería mucho.

Nota: NO se trata de deberes, sino de preguntas para orientar la comprensión de los apuntes.

Merci !

Answer 1

Parece que estás confundiendo dos ideas totalmente diferentes, lo cual es comprensible ya que la notación es muy similar. La primera noción es la del producto aritmético que está acostumbrado, y la segunda es la del producto cartesiano .

El producto cartesiano es una forma clara de denotar el conjunto de todas las tuplas que consisten en elementos de conjuntos particulares. La notación funciona así: digamos que $A = \{1,2,3\}$ , $B = \{x,y\}$ .

El conjunto $A \times B$ sería el conjunto de dobles $(a,b)$ donde $a \in A$ y $b \in B$ . Así que, $$ A\times B = \{(1,x),(2,x),(3,x),(1,y),(2,y),(3,y)\} $$ (confusamente, elementos como estos se escriben ocasionalmente en la forma $a \times b$ en lugar de $(a,b)$ ). De la misma manera, $A \times B \times \mathbb{R}$ sería el conjunto de triples $(a,b,r)$ donde $a \in A, b \in B, r \in \mathbb{R}$ . Incluso se puede tomar un producto cartesiano de un conjunto consigo mismo. Así que, $B \times B$ sería $$ \{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)\} $$ Con la taquigrafía habitual, se puede escribir este conjunto como $B \times B = B^2$ . Del mismo modo, tendríamos $$\overbrace{B \times \cdots \times B}^{n\text{ times}} = B^n $$ Esta noción es muy distinta de la producto aritmético . Así, por ejemplo, $2 \cdot 3$ (que es $6$ ) significa una cosa muy diferente a $\{2\}\times \{3\}$ (que es $\{(2,3)\}$ ) El primero es el aritmética producto de números (o variables que representan números), mientras que el segundo es el cartesiano producto de conjuntos. Cuando se calcula $(x+1)^5$ , está utilizando el aritmética producto.

Espero que eso aclare las cosas.

Answer 2

En lugar de hacer las cosas confusas y "demasiado" teóricas, me gustaría que imaginaras el producto cartesiano de dos conjuntos de la siguiente manera:

$ \mathbb {R}^2 $ cuando se interpreta como coordenadas cartesianas es simplemente DOS ejes (o líneas numéricas si se quiere) de números reales. Imagina una horizontal y una vertical y tienes un sistema con el que has estado trabajando desde el primer día. Así que cuando multiplicas $ \mathbb{R} \cdot \mathbb{R} $ se obtienen todas las coordenadas en ese buen sistema antiguo. Ahora imagina $ \mathbb {Z}_+^2$ Estas son las coordenadas de todos los enteros por encima de 0. Así que empezarías con (1,1), (1,2), (1,infinito), (2,1)...etc.

Entonces, ¿qué es $ \mathbb{R}^3 $ ? Poner otro eje ahí y ya está.

De esta manera, el álgebra abstracta y otros temas se vuelven mucho más fáciles de comprender en lugar de tratar de llegar a una definición teórica en aras de la complejidad.