Demostrar o refutar: $\sup\left \{ x\in\mathbb{R}\mid x^2-5x+6\leq0 \right \}=3$

Question

No hay deberes: http://www2.mathematik.hu-berlin.de/~gaggle/S15/MATHINFO/UEBUNG/nachholklausur.pdf

Demostrar o refutar: $\sup\left \{ x\in\mathbb{R}\mid x^2-5x+6\leq0 \right\} =3$

Yo diría que la afirmación es cierta porque si utilizamos la fórmula p-q

$$x_{1,2}= \frac{5}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-5}{2}\right)^2-6}$$

$$x_{1,2}= 2.5\pm\sqrt{\frac{25}{4}-6}$$

$$x_{1,2}= 2.5\pm\sqrt{\frac{1}{4}}$$

$$x_{1,2}= 2.5\pm\left(\frac{1}{2}\right)$$

$$x_1=3$$

$$x_2=2$$

En realidad, no entiendo bien el enunciado, ¿qué está diciendo? ¿Que el supremum de la función es 3?

Entonces la afirmación es errónea porque tenemos como segunda solución 2 que es menor que 3, por lo que el supremum es 2 y no 3

Answer 1

El enunciado a demostrar o refutar es, reformulado, equivalente a las dos condiciones siguientes

• si $x$ es una solución real para $x^2-5x +6\leq 0$ entonces $x\leq 3$ ;

• si $x>3$ entonces no es una solución para $x^2-5x +6$ .

La afirmación es cierta: resolver $x^2-5x +6 = 0$ vemos que las dos únicas soluciones son $2$ y $3$ . Como la función polinómica es negativa entre la raíz, tenemos $x^2-5x +6 \leq 0$ si, y sólo si, $x\in[2,3]$ .

Esta es la gráfica de la función polinómica $f$ definido por $f(x)=x^2-5x +6$ . El conjunto $S\stackrel{\rm def}{=} \{x: f(x) \leq 0\}$ es la parte del $x$ -eje para el que la curva está por debajo $0$ . Desde $S=[2,3]$ tenemos $\sup S = \sup [2,3] = 3$ .

Answer 2

Creo que sé qué decir a continuación. Voy a pegar un gráfico de $y = x^3 - 3x.$ ¿Qué es? $$\sup\left \{ x\in\mathbb{R}|x^{3}-3x\leq0 \right \}?$$