Símbolo matemático "igual a

Question

Mi profesor utilizó el siguiente símbolo: $\boxed{\overset{\wedge}{=}}$

Tuvimos que escribir una ecuación vectorial, y dijo que mi vector de dirección $\begin{pmatrix}6\\2\\2\end{pmatrix}$ could be simplified to $\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}$ ya que la longitud no importa como vector de dirección.

Escribió en mi ecuación vectorial:

$$\begin{pmatrix}6\\2\\2\end{pmatrix} \overset{\wedge}{=} \begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}.$$

¿Es correcta esta notación, y si es así, cómo se llama y cuándo se utiliza?

Answer 1

Esta notación no es estándar. Se puede definir una relación de equivalencia en $\mathbb{R}^{n}$ s.t $v\sim u\iff u=\alpha v$ para $0\neq\alpha\in\mathbb{R}$ y entonces podemos escribir, por ejemplo $$ \begin{pmatrix}6\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} $$

En cuanto al uso del símbolo del sombrero y los vectores - es estándar que si $0\neq v\in\mathbb{R}^{n}$ entonces denotamos $$ \hat{v}=\frac{v}{\|v\|} $$

en este caso $\hat{v}$ abarca el mismo subespacio unidimensional que $v$ y satisface $\|\hat{v}\|=1$

Answer 2

No creo que el particular que mencionas sea válido. Véase ici para ver la lista completa. Puede que haya querido escribir $ \cong $ o $ \equiv $ ; ambos tienen sentido, ya que ambos implican que los dos vectores son equivalentes y tienen la misma forma y significado.

Answer 3

No es convencional y no se entenderá ampliamente sin una explicación de lo que significa, pero no tiene nada de incorrecto si se explica antes de usarlo.

Aquí está otro ejemplo de su uso: Supongamos que $H_1,\ldots,H_n$ son hipótesis mutuamente excluyentes, una de las cuales debe ser cierta. Sus probabilidades, dados algunos datos nuevos $D$ son deseados. A continuación, $$ (P(H_1\mid D),\ldots,P(H_n\mid D)) \overset{\wedge}{=} (P(H_1),\ldots,P(H_n)) \cdot (P(D\mid H_1),\ldots,P(D\mid H_n)) $$ donde el punto significa la multiplicación término a término. Una vez hallada la clase de equivalencia del vector de la izquierda, la constante por la que deben multiplicarse todos los componentes para obtener las probabilidades reales es la que hace que su suma sea igual a $1$ .

Y sin embargo otro ejemplo: A dependencia lineal entre vectores $\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_m$ es un $m$ -pareja de escalares $c_1,\ldots,c_m$ no todos $0$ , de tal manera que $c_1\vec{x}_1+ \cdots+c_m\vec{x}_m=\vec{0}$ . Pero cualquier múltiplo escalar no nulo de $(c_1,\ldots,c_n)$ funciona igual de bien y expresa exactamente la misma naturaleza de la dependencia entre $\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_m$ . Por lo tanto, una dependencia lineal es realmente una clase de equivalencia de tales tuplas. Una forma de decirlo es que el espacio de las dependencias lineales es un espacio proyectivo.